Determinantlar va ularni hisoblash

1.5. Matritsalar. Matritsial ustida amallar.
Ta’rif:  m × n o’lchamli matritsa deb, a_ij,  ,    sonlardan tuzilgan m ta satr, n ta ustunli quyidagi:
(1)  A=  yoki  A=
jadvalga aytiladi. A matrisani qisqacha A=||a_ij||  ;  ham yozish mumkin.
a_ij larga matrisaning elementlari deyiladi.
Agar m × n  bo’lsa, (1) ga to’g’ri burchakli yoki o’rta matritsa deyiladi. Agar m=n bo’lsa, (1) ga kvadrat matritsa deyilib, uning o’lchami n × n  bo’ladi.

yo’l matritsa

- kvadrat matritsa  -ustun matritsa   -
Matritsa faqat jadval bo’lib, u biror sonni ifodalamaydi. Matritsaga katta, kichik degan tushuncha bo’lmaydi. Matritsalar odatda lotin alifbosining katta harflari bilan belgilanadi.
Kvadrat matritsalar uchun uning elementlaridan tuzilgan determinant quyidagicha bo’ladi.
A= ,  det A=|A|=
Barcha elementlari nol bo’lgan matritsa nol matritsa deyiladi. Bosh diagonal elementlaridan boshqa hamma elementlari nol bo’lgan kvadrat matritsaga diagonal matritsa deyiladi. Bosh diagonal elemenlari bir bo’lib, boshqa barcha matitsa elementlari 0 bo’lgan kvadrat matritsaga birlik matritsa deiladi va u odatda E harfi bilan belgilanadi.
E=  ,  |E|=1 .
Har qanday A va B matritsalarning A=B bo’lishi uchun ular bir xil o’lchovli va barcha mos elementlari teng bo’lishi shart.
Ta’rif:  Biror A matritsani k songa ko’paytirish deb, A matritsaning hmma elementlarini shu k songa ko’paytirishdan hosil bo’lgan matritsaga aytiladi va kA ko’rinishda yoziladi:
kA=Ak=
Ta’rif: Agar A va B matritsalar bir xil o’lchovli bo’lsa, ularning yig’indisi deb, shunday C matrit-saga aytiladiki, bu C matritsaning elementlari A va B matritsalarning mos elementlarining yig’indisi-dan iborat bo’ladi.
A= ,  B=  ­
bunda m=p; n=q,
C=A+B= +
Misol.

Berilgan matritsalarni ko’paytirish uchun A matritsaning ustunlar soni n, B matritsaning yo’llar soni p ga teng, ya’ni n=p bo’lishi shart. Aks holda AB ma’noga ega bo’lmaydi. Ikkita matritsani ko’paytirganda hosil bo’lgan matritsaning yo’llar soni ko’payuvchi matritsaning yo’llar soniga, ustunlar soni esa ko’payuvchi matritsaning ustunlar soniga teng bo’ladi.
A_m×n ×B_p×q=C_mq
C=A×B=
Ikkita matritsaning ko’paytmasi yana matritsa bo’lib, uning C_ij elementi A matritsaning i-yo’lida-gi hamma elementlarini B matritsaning j-ustundagi mos elementlariga ko’paytmalarining yig’indisi-dan iborat bo’ladi.
C_ij=a_ijb_ij+a_i2b_2j+…+a_inb_nj=   ; 
Misol:
.
A va B matritsalar uchun A·B≠BA ya’ni matritsalar ko’paytmasi uchun kommutativlik kassasi o’rinli emas:
Misol : 
A=  B=
A×B= × =
B×A
Ko’rinib turibdiki A·B±B·A .
Bevosita tekshirish yo’li bilan quyidagi:
1) (BA) ·B=A· (AB) =A (AB)  A-son
2) (A+B) ·C= A·C+B·C
3) C (A+B) = CA+CB
4) A (B·C) = (A·B) C
Xossalari o’rinli ekaniga ishonch hosil qilish mumkin.
Agar A va B n×n o’lchamli kvadrat matritsalar bo’lsa, u holda
1º  det (AB) =detA · detB
2º  det (λA) = λⁿdetA.  munosabatlar o’rinli bo’ladi.