Determinant tushunchasi va determinantlarni hisoblash

Мisol.
.

1-natija. Determinant biror qatori barcha elementlari nol bo‘lsa, determinant qiymati nolga teng.
2-natija. Agar determinantda bosh diagonal bir tarafida turgan elementlar nol bo‘lsa, determinant qiymati bosh dioganal elementlari ko‘paytmasiga teng.


Isboti yoyish teoremasidan kelib chiqadi.
Endi ixtiyoriy tartibli determinantni hisoblashning ikkita usulini keltiramiz:
1. Determinant tartibini pasaytirish usuli – determinant biror qatori elementlarining bittasidan boshqalarini oldindan nolga aylantirib, shu qator bo‘yicha yoyish usuli.
Misol.

2. Determinantni uchburchak ko‘rinishga keltirish usuli. Bunda determinant elementlari ustida shunday almashtirish bajariladiki, bu almashtirish natijasida determinantning bosh diagonalidan bir tomonda yotuvchi hamma elementlari nolga aylantirilib, determinant uchburchak shaklga keltiriladi va u bosh diagonali elementlari ko‘paytmasiga teng:

Misol. .
Bu determinantning birinchi satrini 3 ga ko‘paytirib to‘rtinchi satriga qo‘shdik, natijada asosiy diagonaldan pastdagi elementlarning barchasi nolga teng bo‘ldi.
Birlik matritsaning determinanti birga teng, ya’ni .
1º. Agar determinantning yo’lini mos ustunlari bilan almashtrilsa, determinantning qiymati o’zgarmaydi.
Masalan:
2º. Determinantning ixtiyoriy ikkita yo’lini (ustunini) o’zaro almashtirilsa, determinant qiymati o’z ishroasini o’zgartirmaydi.
Masalan:


3º. Determinantning biror yo’lining (ustunining) barcha elementlari nol bo’lsa, determinant-ning qiymati nol bo’ladi.
Masalan:

4º. Ixtiyoriy ikkita yo’li yoki ikkita ustuni bir xil bo’lgan determinant qiymati nol bo’ladi.
Masalan:

5º. Istalgan yo’l (ustun) ning umumiy elementini determinant belgisidan tashqariga  chiqarish mumkin.

6º. Determinant biror yo’l (ustun) elementlariga boshqa yo’l (ustuni) ning elementlarini biror songa ko’paytirinb qoshganda determinantning qiymati o’zgarmaydi.

7º. Agar determinantning biror i-yo’lida (ustunida) a_ij elementdan boshqa hamma elementlari 0 bo’lsa, u holda bu determinant element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytma-siga teng bo’ladi.
.
8º. Har qanday determinant, biror yo’li (ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng.
yoki  
Misol.

9º. Determinantning biror yo’li (ustuni) elementlarining boshqa yo’li (ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi 0 bo’ladi.
Misollar yechish;
1. 
2. 
3.