Designing Sound

48
Oscillations
Interestingly the energy stored in an electrical capacitor is
E
=
1
2
CV
2
and the energy stored in an electrical inductor is
E
=
1
2
LI
2
so you can see how this analogy to a mechanical system ties up nicely.
SECTION 4.3
Complex Harmonic Oscillators
A single mass on a spring, a pendulum, and a simple electrical resonator all
have a single frequency at which they will oscillate freely. These might be found
as the primary source or
driving signal
in some situations, but much of the time
we are concerned with more complex systems in real sound design. Strings, bars,
plates, tubes, and membranes are all extents, in which there is a distribution of
mass with more than one degree of freedom. When such systems oscillate they
do so at many frequencies, depending on the modes we looked at in the last
chapter. We don’t have room to develop a mathematical analysis of each so I
will just present the bare essentials, a formula for the fundamental frequency,
a list of modes, and quick discussion of the spectrum.
Oscillation of a String
The natural frequency of a plucked string is
f
=
1
2
L
T
m
u
(4.12)
where
l
is the length in meters,
T
is the tension in Newtons, and
m
u
is the
mass per unit length in kilograms. A string can vibrate in all harmonic modes,
that is to say we hear frequencies at
f
, 2
f
, 3
f . . .
In practice the strength of
harmonics will depend on where the string is excited. If it is plucked or struck
in the middle then only odd harmonics (1, 3, 5
. . .
) will be present, whereas
exciting the string at 3
/
4 of its length brings out the even (2, 4, 6
. . .
) ones.
The question is often asked, how can a string simultaneously vibrate in more
than one mode? Some modes of a vibrating string are shown in figure 4.8. These
are the first four harmonics (fundamental plus three overtones). Each harmonic
mode is a standing wave where the end points stay fixed, so with a node at
each end they correspond to
λ/
2,
λ
, 2
λ . . .
If some point on the string can only
be in one place at once it seems impossible that all these modes can happen
simultaneously. The principle of superposition makes sense of this. Of course
the string remains as a single contour, but its shape is a complex mixture of
all the harmonics added together.

---