Designing Sound

Partials
Figure 17.3
Partial tracing: See Pure Data help example 4.15-sinusoidal-tracker.
a sine and cosine term and a division. This is called the
closed form
expression
of an infinite sum, or a
discrete summation formula
(DSF), and it saves an
enormous amount of CPU provided we want a spectrum that can be described
in this regular way. It was developed into a synthesis method in the early 1970s
(Moorer 1976). Moorer (1976) gives the textbook by Jolley (1961) as a refer-
ence, and the general form of the equation in which
θ
and
β
are two periodic
functions
N
k
=0
a
k
sin(
θ
+
β
) =
sin
θ
−
a
sin(
θ
−
β
)
−
a
N
+1
[sin(
θ
+ (
N
+ 1)
β
)
−
a
sin(
θ
+
N β
)]
1 +
a
2
−
2
a
cos
β
which he then develops into simplified special cases for synthesising several dif-
ferent classes of spectra. In its most flexible form we can specify the number of
harmonics too, which makes it band-limited. But here we’ll look at a simplified
form that is easier to understand. The technique requires only two oscillators to
produce inharmonic spectra. In use it’s a bit like modulation techniques where
we have an index that affects the brightness by extending the harmonic series,
and a modulator frequency that sets the spacing. For harmonic spectra we will
see it’s possible to use only one phasor, in which case the spacing is an integer
that we obtain by wrapping. The equation given in Moorer’s paper
N
k
=0
a
k
sin(
θ
+
kβ
) =
sin
θ
−
a
sin(
θ
−
β
)
1 +
a
2
−
2
a
cos
β
(17.2)
leads us to the Pure Data implementation of figure 17.4 in which we have a
control for the fundamental frequency, one for the harmonic spacing (distance),

---