Designing Sound

46
Oscillations
Frequency of a Pendulum
A mass suspended from a string (having negligible mass itself) will swing at
a constant rate depending only on the length of the string and gravity. The
physics of pendula is one of the oldest understandings of oscillation, which
Galileo used to explain harmonic ratios. The restoring force
mg
sin
θ
is a com-
ponent of the gravitational force
mg
acting in the direction of the equilibrium
position. For small angles the assumption that this is proportional only to
the angle (
θ
) works well enough. Because mass appears on both sides of the
differential equation it is removed from the frequency calculation. So, assuming
that sin
θ
=
θ
(small angle approximation), solving
d
2
θ
dt
2
+
gθ
l
= 0
(4.8)
leads to
f
=
1
2
π
l
g
(4.9)
Notice that the pendulum’s frequency depends only on the length of the string
and the strength of gravity. So two consequences are that its mass makes no
difference, and a pendulum will not swing in space.
m
m
m
m
length L
Kinetic energy
in mass = mv 
2
in mass = mgh
Potential energy
θ
Force = mg
mg cos 
θ
mg sin 
θ
KE
PE
sin 
θ 
= 
θ
for small angles
θ
h
Figure 4.6
Pendulum oscillation.
Frequency of an LC Network
In a capacitor and a coil connected in parallel as shown in figure 4.7, electrical
charge oscillates between them in a way analogous to the mass and spring. In

---