Dars rejasi: Loran teoremasi 2

Yangi mavzu bayoni (50 minut):


18.1. Loran teoremasi.
18.1-Teorema. Faraz qilaylik, funksiya biror halqada regulyar bo’lsin. U holda shu funksiyani shu halqada yaqinlashuvchi
(18.1)
qatorga yoyish mumkin, bu erda kompleks sonlar bo’lib,
, (18.2)
formula orqali ifodalanib, Loran koeffisientlari deb aytiladi.
Koeffisientlari (18.2) formula bilan ifodalanuvchi (18.1) qator funksiyaning nuqta atrofidagi Loran qatori deb aytiladi.
Isbot. Berilgan halqaning ichida yotuvchi halqani chizamiz. funksiya halqada regulyar. Ko’p bog’lamli soha uchun Koshining integral formulasiga ko’ra uchun
(18.3)
(18.3) qatorning har bir hadini darajali qatorga yoyamiz. Birinchi integralning yadrosini quyidagi qatorga yoyamiz:
(18.4)
yoyilma qaerda o’rinligini topish uchun yoyilmaning doirada o’rinli bo’lib, har qanday doirada tekis yaqinlashishidan foydalanamiz: va barcha bo’lganligi uchun (18.4) yoyilma o’rinli va o’zining yig’indisiga ga nisbatan tekis yaqinlashadi. (18.3) formula ikkinchi integrali yadrosini esa (18.4) qatorda va larni bir-biri bilan almashtirish natijasida hosil qilinadigan
(18.5)
qatorga yoyamiz. bo’lganligi uchun yuqorida keltirilgan sababga ko’ra (18.5) yoyilma va uchun o’rinli va o’z yig’indisiga ga nisbatan tekis yaqinlashadi. (18.4) va (18.5) qatorlarni uzluksiz funksiyaga ko’paytirsak, ularning tekis yaqinlashishi saqlanadi. Shuning uchun hosil bo’lgan qatorlarni (18.3) ifodaning mos ravishda birinchi va ikkinchi integrallariga qo’yib, integrallar ostida hosil bo’lgan qatorlarni hadlab integrallasak (bunday amalni bajarish mumkinligini asoslang!), quyidagi munosabatni olamiz:
, ,
bu erda
(18.6)
(18.7)
(18.6) va (18.7) koeffisientlarni shunday ifodalaymizki, natijada ular bitta formula yordamida yozilsin. Buning uchun integrallash chizig’ining umumiy radiusi ni ixtiyoriy, lekin shartni qanoatlantiruvchi qilib tanlaymiz. Murakkab kontur uchun Koshining integral teoremasiga binoan (18.6) va (18.7) formulalarda integrallash chiziqlari sifatida aylanani olish mumkin, chunki bunday integrallarning qiymati aylana radiusidan bog’liq emas. Ikkinchi tomondan uchun deb olsak, (18.6) va (18.7) koeffisientlar quyidagi yagona formula bilan ifodalanadi:
(18.8)
U holda
,
18.1-teorema isbot bo’ldi.