Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 12.11-5
A parallel LC circuit used in a tuned amplifier circuit has L 
=
25.3 
m
H and C 
=
1 nF. There is no 
resistance load across it. A frequency-response test on the circuit revealed that the band-pass output 
(i.e., the voltage across the circuit when the excitation is a sinusoidal current source) has a centre 
frequency that is approximately the expected value. But its bandwidth was found to be 6 kHz. (i) Find 
the Q factor of the inductor at the centre frequency. Losses in the capacitor may be ignored. (ii) What 
is the resistance that has to be connected across the LC combination such that the band-pass filter has 
a bandwidth of 10 kHz?

---

12.52


SeriesandParallel
RLC
Circuits
Solution
A pure parallel LC circuit excited by a current source should have a bandwidth that goes to zero. This 
is due to the fact that for a narrow band-pass filter, the bandwidth and centre frequency are related by 
bw
Q
n
=
w
. The Q of a pure LC parallel circuit is 
∞
since its damping factor is zero.
The fact that the experiment conducted revealed a bandwidth of 6 kHz implies that there is damping 
in the circuit. Winding and core losses in the inductor produce damping in the circuit. So does the 
dielectric losses in the capacitor; but the effect of capacitor losses is usually small compared to the 
effect of inductor losses. Hence, we assume that, the limiting of bandwidth observed is essentially due 
to losses in the inductor. We can obtain the effective resistance that has come across the inductor at 
and around resonant frequency using the data provided.
Undamped natural frequency of the circuit 
=
1
2
1
p
LC
=
MHz
\
Center frequency observed 
=
1 MHz (because that is the expected value and the experiment 
confirmed it)
Observed bandwidth 
=
6 kHz
\
The Q factor that is effective in the circuit 
=
1000/6 
=
166.7
\
The 
x
factor that is effective in the circuit 
=
1/2Q 
=
0.003
\
The parallel resistance that is effectively there in the circuit 
=
1
2
x
L
C
=
26.5 k
W
This resistance represents the losses at 1 MHz in the inductor in the form of a resistance in parallel 
with inductance.
The
Q
 factor of a reactive element is defined as the ratio between maximum energy
storageinthereactancetotheenergylostinonecycleundersteady-stateoperation
atthefrequencyatwhich
Q 
iscalculated.
From this definition it follows that Q
L
R
R
L
s
p
of an inductor
=
=
w
w
where R
s
is the resistance that 
comes in series to represent the losses in the inductor and R
p
is the resistance in parallel to the inductor 
if the losses are to be represented by such a parallel resistance.
The reactance of 25.3 
m
H inductor at 1 MHz is 159 
W
. 
Therefore Q of the inductor 
=
26500/159 
=
166.7.
If the bandwidth is to be raised to 10 kHz, the Q of the circuit has to be lowered to 100. Then the 
damping factor has to be 0.005 and the effective parallel resistance has to be 
=
1
2
x
L
C
=
15.9 k
W
. There 
is already 26.5 k
W
effective parallel resistance from losses in the inductor. Let R
1 
be the extra resistance 
that has to be connected in parallel. Then R
1
//26.5 k
W
has to be 15.9 k
W
. Therefore R
1
is 39.75 k
W
.