Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 6.3-5
A sinusoidal voltage source v(t) 
=
10
√
2 sin t V is connected 
across a sinusoidal current source i(t) 
=
√
2 sin(t 
-
60
°
) A at 
t 
=
0. i(t) flows out of the positive terminal of v(t). Find the 
instantaneous power delivered by the voltage source to the 
current source and the corresponding energy function and 
plot them.
Solution
Let p(t) be the instantaneous power delivered by the voltage 
source to the current source. Then,
p t
v t i t
t
t
t
( )
( ) ( )
sin sin(
)
[cos
cos(
)]
[
=
=
− °
=
° −
− °
=
20
60
10
60
2
60
5
W
W
−−
− °
10
2
60
cos(
)]
t
W
Energy is obtained by integrating this function over t 
=
0 to t 
=
t.
E t
t
dt
t
t
t
( )
[
cos(
]
[
sin(
)
. ]
=
−
− °
=
−
− ° −
∫
5 10
2
60
5
5
2
60
4 33
0
J
20
t
(s)
E
(
t
) (J)
p
(
t
) (W)
40
60
80
100
120
140
2
π
3
π
π
Fig. 6.3-5 
Plots of instantaneous 
power and energy in 
Example 6.3-4

---

6.18
Power and Energy in Periodic Waveforms 
The waveforms of voltage, current, power and the plot of energy function are shown in Fig. 6.3-6.
Voltage and current have a frequency of 1 Hz whereas the power waveform has a frequency of
2 Hz. Power waveform is bipolar. The voltage source delivers energy to the current source for some 
time during a cycle and the current source delivers energy to the voltage source for the remaining time. 
However, the net energy delivered in one cycle is from voltage source to current source. The energy 
plot shows that E(t) is non-monotonic on t. This must be so since the power waveform is bipolar.
The line joining the energy values at the end of cycles of power is seen to be a straight line with a 
slope of 5 W. The average value of p(t) over a cycle must then be 5 W. It is verified to be 5 W in the 
derivation that follow.
20
t
(s)
t
(s)
v
(
t
)
i
(
t
), 
i
(
t
)
/10,
v
(
t
)/10
p
(
t
)
p
(
t
)
p
(
t
)
/10
(W),
E
(
t
)
E
(
t
)
(J)
p
(
t
)/10
40
60
2
π
3
π
π
2
π
3
π
π
1
0.5
–0.5
–1
–1.5
1.5
Fig. 6.3-6 
Waveforms and plots for Example 6.3-5. Upper traces show voltage, current 
and power. 
Average of
over a cycle
Area of 
over 
p t
p t
( )
( )
=
a cycle 
period of cycle
=
−
− °
= −
∫
[(
cos(
)]
si
5 10
2
60
5
5
0
t
dt
p
p
p
nn(
)
2
60
5
0
t
− °
=
p
W
example: 6.3-6
An electrical element draws a current of i(t) 
=
-√
2 cos 100
p
 t A from a sinusoidal voltage source of 
v(t) 
=
10
√
2 sin 100
p
 t V. Find and plot instantaneous power delivered to the load and energy delivered 
to it as functions of time.
Solution
p(t) 
=
-
20sin 100
p
 t cos 100
p
 t 
=
-
10 sin 200
p
 t W and E(t) 
=
-
0.05(1 
-
cos 200
p
 t) J.
Power waveform has 100 Hz frequency whereas the voltage and current waveforms have 50 Hz 
frequency. The period of the power waveform is 10 ms.

---

Average Power in Periodic Waveforms 
6.19
Average value of power over a cycle 
=
−
=
∫
10
200
0
0
10
sin
p
t dt
ms
. Therefore the energy function 
cannot be a growing function. The net change in E(t) over a cycle of power waveform will be zero. It 
has to be an alternating function of time with a possible average content, indicating that there is no 
net energy transfer from source to load over a cycle of power waveform. The plots shown in Fig. 6.3-7 
confirm this.
t
(ms)
t
(ms)
v
(
t
)
i
(
t
),
i
(
t
)
/10,
p
(
t
) /10
E
(
t
) (J)
p
(
t
) /10
v
(
t
) /10
5
10
15
20
25
30
35
40
1
0.5
–0.5
–1
5
10
15
20
25
30
35
40
–1.5
–0.05
–0.1
1.5
Fig. 6.3-7 
Waveforms and plots for Example 6.3-6 
6.4 
aVerage PoWer In PerIodIc WaVeFormS
The following points emerge from the discussion on instantaneous power in Section 6.3.
• Instantaneous power delivered to an element is a non-constant function of time in 
general.
• If the voltage across the element and current through the element are periodic 
waveforms with period 
T
and zero average value over a cycle period, the instantaneous 
power will be a periodic waveform with period 0.5
T
and may have a non-zero average 
value over its cycle period of 0.5
T
.
• The energy delivered to the element will also be a function of time. The value of total 
energy delivered to the element at end-of-cycle points will fall on a straight line with 
a slope equal to the average value of instantaneous power waveform over its cycle 
period.
• If the instantaneous power waveform is unipolar, the energy function will be monotonic 
on 
t
. If instantaneous power waveform is bipolar, the energy function will be non-
monotonic.
A 100 W incandescent lamp draws about 0.615 A peak sinusoidal current when a 325 V peak 
sinusoidal voltage at 50 Hz is applied across it. This results in a p(t) 
=
200 sin
2
200
p
 t W of instantaneous 

---

6.20
Power and Energy in Periodic Waveforms 
power in it. p(t) can also be expressed as p(t) 
=
(100 
- 
100 cos 200
p
 t) W. Thus, the instantaneous 
power varies from 0 to 200 W and goes back to zero in 10 ms. Does the lamp filament respond to this 
power input variation?
It does respond to the power variation. However, 10ms is too small a time interval for significant 
variations in the temperature of the filament to take place. This is due to the thermal capacity of the 
lamp system that tends to behave like thermal inertia when it comes to changes in lamp temperature. 
Thus, though the lamp responds to both the 100 W constant component and the 100 W cosine term 
in instantaneous power, the response of temperature variable to the 100 W cosine term is very small 
compared to the response to the 100 W constant term. Thus, the lamp temperature and hence its light 
output is more or less constant in the long run (after about 50 to 100ms of switching on in this context) 
corresponding to the 100 W constant term in p(t), with the 100 W rippling term contributing only a 
negligible amplitude oscillation in them. And, persistence of human vision virtually blots out even this 
small rippling component in light output. Hence, we do not get to see the small amount light flicker 
that takes place invariably due to the power changing periodically with a period of 10 ms. If we apply 
a 5 Hz voltage instead of 50 Hz voltage to a lamp, the oscillating component in lamp light output will 
be much more in amplitude and the frequency of this oscillating component will be 10 Hz. We will 
experience a prominent flicker in the lamp light output.
Thus, we conclude that, if the frequency of pulsation in instantaneous power delivered to an 
electrical load (lamps, heating element, motors etc.) is sufficiently high, the output from the load 
(light, temperature, torque, speed etc.) will be constant in the long run. The magnitude of this constant 
output is decided by the average of instantaneous power over its cycle period. The load will ignore the 
pure alternating component/s in instantaneous power. Therefore, the average value of p(t), averaged 
over its cycle period, is a much more relevant quantity in practice.
The Cycle Average Power in the context of periodic waveforms is defined as the cycle 
average of instantaneous power over a cycle of instantaneous power and is denoted by 
P
,
i.e.
,
P
p t dt
p t
=
∫
1
Period
over one period of
( )
( )
=
2
0 5
T
v t i t dt
t
t
T
( ) ( )
,
.
+
∫
where 
T
is the period of the periodic 
voltage and current waveforms and 
t
is any arbitrary time instant after 
t
=
0. 
p
(
t
) is 
assumed to be zero for 
t
< 0. In practice, the integration is carried out from the 
beginning of a power cycle to the end of that cycle. 
The Average Power contained in an instantaneous power waveform and the Cycle Average Power 
are two different concepts altogether. First of all, there can be a cycle average power only if p(t) is 
a periodic waveform. But average power can be defined and calculated for any p(t). Let v(t) be the 
voltage across an element and i(t) be the current through it over an interval of time denoted by [t
1
, t
2
]. 
Then the energy delivered to the element during this interval is given by the area under p(t) 
=
v(t) i(t) 
from t
1
to t
2
. Then, the Average Power (P
av
) delivered during this interval is the value of constant power 
that would have delivered the same amount of energy to the element in the interval between t
1
to t
2
.
∴
=
−
∫
P
t
t
v t i t dt
t
t
av
1
2
1
1
2
(
)
( ) ( )
The instant t
1
is usually chosen to be the instant at which the voltage was applied to the element 
and the instant t
2
is the instant at which the supply to the electrical element was switched off. If the 

---

Average Power in Periodic Waveforms 
6.21
two instants are chosen this way, the P value gives the average rate at which energy was delivered to 
the load element during the entire period of connection.
A simple relation exists between Average Power (P
av
) and Cyclic Average Power (P) in the context 
of periodic voltages and currents. Let v(t) 
=
V
m
sin 
w
t V and i(t) 
=
I
m
sin (
w
t 
+
q
) A. Let the interval 
duration t
2 
-
t 
1
extend over a large number of cycles of p(t). The instantaneous power in this case will 
be periodic with a period of 0.5T. But t
2
-
t 
1 
may not be an integer multiple of 0.5T. Hence, we express 
t
2
-
t 
1
as 0.5nT 
+
0.5kT where k is a real number between –1 and 1 and n is an integer.
p t
V I
t
t
V I
t
P
T
p t dt
( )
sin
sin(
)
[cos
cos(
)]
( )
=
+ =
−
+
∴ =
m m
m m
w
w
q
q
w
q
2
2
2
0
00 5
0
2
2
2
2 2
.
[cos
cos(
)]
cos
si
T
V I
t
dt
V I
V I
∫
∫
=
−
+
=
−
×
p
w
q
w
q
q
w
p
w
m m
m m
m m
nn(
)
cos
( )
[co
2
2
1
1
2
0
2
1
2
1
1
2
w
q
q
p
w
t
V I
P
t
t
p t dt
t
t
V I
t
t
+
=
=
−
=
−
∫
m m
av
m m
ss
cos(
)]
cos
(
)
sin(
)
q
w
q
q
w
w
q
−
+
=
−
×
−
+
∫
2
2
2 2
2
1
2
2
1
t
dt
V I
V I
t
t
t
t
t
m m
m m
tt
t
V I
V I
n k
n
k
t
t
1
2
2
2
2
1
2
=
−
+
+
+
+
m m
m m
cos
(
)
sin[
]cos[
(
)
]
q
p
p
p
w
q
We used t
2
-
t 
1
=
0.5nT 
+
0.5kT in the last step. sin (
p
n 
+
p
k) is zero if there are integer periods of 
length 0.5T within t
2
-
t 
1
. If not, the magnitude of second term in the expression for P
av 
is upper bounded
by V
m
I
m
/2
p
(n
+
k). For a sufficiently large n, i.e., if the length of the interval over which the average 
power is calculated is very large compared to the period of instantaneous power waveform, then, the 
second term becomes negligible. The first term is same as cycle average power. Therefore, Average 
Power, P
av
=
Cycle Average Power, P, if the waveforms last for sufficient duration compared to their 
period. If v(t) and i(t) persist for more than 20 or more cycles, the error in taking P as P
av
will be < 1%.