Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 9.8-1
Some desktop UPS units supplying single PC units deliver the waveform v(t) shown in Fig. 9.8-1. 
The trapezoidal shape is expected to reduce the THD of the wave compared to the square wave in 
Example 9.7-1. (a) Obtain an expression for rms value of this voltage in terms of V and 
a
. (b) Find the 
Fourier series coefficients for v(t). (c) Find V and 
a
such that the third harmonic content is zero and 
the rms value is 220 V. (d) With these values for V and 
a
, find the THD of v(t). 

---

9.28
Dynamic Circuits with Periodic Inputs – Analysis by Fourier Series
v
(
t
)
V
–V
0.5
(1– )
0.5
0.5
T
T
T
α
α
t
Fig. 9.8-1 
Waveform for example: 9.8-1 
Solution
The waveform v(t) exhibits odd symmetry and half-wave symmetry. Its Fourier series will contain 
only odd harmonics of sine format.
(a) rms value of v(t) 
=




+
−
=
−
∫
4
2
0 25
0 5
1
4
3
2
2
0
0 5
T
Vt
T
dt V
T
T
V
T
a
a
a
a
( .
.
)
.
V
(b) Fourier series coefficients can be found by a straight application of the analysis equation of 
Fourier series (Eqn. 9.2-2). However, a more elegant method is to consider a waveform which 
will produce v(t) on integration. Find its Fourier series coefficients and obtain the Fourier 
series coefficients of v(t) by dividing those coefficients by jn
w
o
. The waveform shown in 
Fig. 9.8-2 is the required one.
(c) Exponential Fourier series coefficients for this waveform is found by splitting the waveform into 
two – the upper half-cycles alone will constitute a periodic rectangular pulse train with period 
T and the lower half-cycles alone will constitute the same rectangular pulse train delayed by 
0.5T and negated. Refer Example 9.6-8 for Fourier series of such a periodic rectangular pulse 
train.
v
(
t
)
–0.5
0.5
T
0.5
T
T
α
α
t
2
V
T
α
Fig. 9.8-2 
Waveform of derivative of 
v 
(
t
) in example: 9.8-1 
v
V
T jn T
e
e
V
T
e
jn T
e
j
n
T
j
n
T
j
n T
j
n
o
o
o
o
o
=
(
)
−
−
−
2
1
2
0 5
0 5
0 5
a
w
a
w
w a
w a
w
.
.
.
00 5
0 5
0 5
1
.
.
.
n
T
j
n
T
j
n T
jn
e
e
e
w a
w a
w
p
o
o
o
for even and 
−
(
)
=
=
−
−
−
−
n
11 for odd
n

---

Analysis of Periodic Steady-State Using Fourier Series 
9.29
∴ ′ =
−
−

v
n
V
T jn T
e
e
n
o
j
n
T
j
n
T
o
o
0
2
2
0 5
0 5
,
(
),
.
.
for even 
for
a
w
w a
w a
odd 
for even 
, for odd 
n
n
V
T
n
n
n




=




0
4
,
sin
p a
p a
Coefficients of exponential Fourier series of v(t) is obtained by dividing these coefficients by jn
w
o
.
∴ =
−





v
n
j
V
n
n
n
n
n
0
2
,
sin
for even 
, for odd 
p
p a
p a
9.8-1)
The rate of decay of harmonic amplitude must be 
∝
1
2
n
and it is seen to be so. Notice that the 
waveform becomes a square waveform when 
a
 
= 
0. The Fourier series coefficients given in Eqn. 9.8-1 
become the same as that of a square wave, i.e. 
2
V
n
n
p
for even 
and when 
a
= 
0.5, v(t) becomes a triangle 
waveform with 
4
2 2
V
n
n
p
for odd 
as magnitude of exponential Fourier series coefficient magnitude.
(a) Third harmonic content will go to zero when 
sin
.
3
0
pa
=
Therefore, 
a
= 
1/3 is the required 
value. The rms value with this value of 
a
is 0.7453V and for 220 V rms value V must 
be 
≈
295 V.
(b) The THD is evaluated as 
THD
odd
=
×








÷
≈
=
∞
∑
100
1
3
3
3
3
4 6
2
2
3
n
n
n
n
n
sin
sin
. %.
p
p
p
p
The faster decay of harmonic amplitude with harmonic order due to the slanting portion of this 
trapezoidal waveform has yielded a much better approximation to a pure sine wave than the waveform 
in Example 9.7-1. The next step to improve THD further will be to replace the flat portion of the 
waveform by another slanting portion with lesser slope than in the first section. 
9.9 
analysIs of PerIodIc steady-state usIng fourIer serIes
The first step of analysis is the determination of Fourier series of the periodic input waveform in 
exponential format or trigonometric format. The second step is the determination of frequency response 
function connecting the required output variable to the input variable. Third step is the determination 
of steady-state response to each term in the Fourier series of input waveform. Fourth step is to combine 
all these steady-state response components and to obtain the instantaneous waveform of output after 
deciding the number of terms to be retained in the truncated Fourier series of output waveform.
This procedure is illustrated through examples to follow.

---

9.30
Dynamic Circuits with Periodic Inputs – Analysis by Fourier Series