Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

w
rad/sec. 
Thus, a complex signal v(t) 
=
V
m
(cos
w
 t 
+ 
j sin
w
 t)u(t) 
=
V
m
e 
j
w
 t
u(t) constructed from coordinates 
of arrow-tip of a uniformly rotating line in space will be represented geometrically in the ‘complex 
signal plane’ by a directed line of length V
m
rotating uniformly, starting from real axis, in the plane. 

---

Phasor Diagrams 
7.37
The values read on the axes of ‘complex signal plane’ at any instant t are the real and imaginary 
components of the complex number representing the signal value at that instant.
Concept No. 3 – Let v
S
(t) 
=
V
m
cos(
w
 t 
+ 
q
) u(t) . Now the arrow-tip of rotating line in (a) of Fig. 7.8-1 (a) 
will start at (V
m
cos
q
, V
m
sin
q
) i.e., at an angular position of 
q
at t 
=
0 and will start rotating at 
w
rad/sec 
from there. Therefore, its angular position at t 
=
t will be (
w
 t 
+ 
q
). The corresponding complex signal 
V
m
e 
j(
w
 t
+ 
q
)
u(t) positions in complex signal plane are marked in Fig. 7.8-2 for t 
=
0 and t 
=
t.
ω
V
m
(b) At 
t
= 
t
+
ω
t

θ
rad/s
Im[
v
(
t
)]
Re[
v
(
t
)]
V
m
(a) At 
t
= 0
θ
rad/s
ω
Im[
v
(
t
)]
Re[
v
(
t
)]
Fig. 7.8-2 
Signal positions for 
V
m
e 
j
(
w
 t
+ 
q
)
(a) At 
t
=
0 (b) At 
t
=
t
Concept No. 4 – Consider two signals v
S
(t) 
=
V
m
cos(
w
 t 
+ 
q
v
) and i
S
(t) 
=
I
m
cos(
w
 t 
+ 
q
i
) with same 
angular frequency. Their representations in complex signal plane at t 
=
0 and at t 
=
t are shown in 
Fig. 7.8-3 (a) and (b).
I
m
V
m
(a) At 
t
= 0
i
v
θ
θ
ω
ω
ω
rad/s
ω
Im[
v
(
t
)]
Re[
v
(
t
)]
I
m
V
m
(b) At 
t
= 
t
rad/s
Im[
v
(
t
)]
t 
+ 
v
θ
t 
+ 
θ
i
Re[
v
(
t
)]
Fig. 7.8-3 
Signal positions of two complex exponential functions at (a) 
t
=
0 (b) 
t
=
t
The directed lines of different lengths do change their angular positions with time; but they 
maintain a constant angular difference at all t. This constant angular difference is the value of angular 
difference they had at t 
=
0.
Therefore, a set a complex exponential signals, all with same angular frequency but with different 
initial angular positions, will maintain their relative positions with respect to each other as they rotate 
in counter-clockwise direction with a constant angular velocity of 
w
 rad/sec. Such a set of signals with 
same angular frequency form a coherent group and always stays together with their relative positions 
unchanging. 
Concept No. 5 – Thus rotation aspect is common to all signals at the same angular frequency. That 
is a piece of information that we can supply at any time and does not have to be carried always in the 
diagram. What we are usually interested in is the relative phase angles between members of a coherent 
group of complex exponential signals. Therefore, we may suppress the rotation of lines representing 
complex exponential signals in the complex signal plane – i.e., we may freeze the lines at their position 

---

7.38
The Sinusoidal Steady-State Response
at t 
=
0. This ‘freezing’ the signal lines at their initial position converts complex time-functions into 
complex numbers – i.e., constant-valued signals in complex signal plane. These constant-valued 
signals in complex signal plane are our phasors.
Thus going from phasor to time-function involves ‘unfreezing’ the directed lines in complex signal 
plane, allowing them to rotate in counter-clockwise direction at a constant angular velocity of 
w
rad/
sec and extracting the horizontal projection of line end-points, i.e., extracting their real parts.
Concept No. 6 – A diagram depicting a group of coherent (i.e., of same angular frequency) complex 
exponential signals frozen at their initial position is called a phasor diagram. Angles measured in 
counter-clockwise direction in a phasor diagram are lead angles and angles measured in clockwise 
direction in a phasor diagram are lag angles
Phasor diagram shows the magnitude of phasors as the length of directed arrows to some scale 
and angle of phasors as angles measured from a reference phasor in counter-clockwise direction. The 
reference phasor is aligned along the horizontal direction. Since only the relative positions of various 
phasors in a circuit really matter, any one phasor may be taken as reference phasor and the directions 
of all other phasors may be marked with respect to this reference phasor provided the absolute phase 
of reference phasor preserved for later use. This amount to stating that a group of directed lines 
originating from origin may be rotated as a whole to a new position without affecting the relative 
positions among the members of the group.
Concept No. 7 – Multiplying a phasor by j or