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1.3
The second component of force is the magnetic force and arises out of motion of charges. This 
component is given by
F
q q
r
v
v
u
12
0 1 2
2
2
1
12
4
m
=
×
×
(
)
m
p
N
where 
m
0
is the magnetic permeability of free space (
=
4
p
× 
10
-
7
H/m) and 
v
1
and 
v
2
are the velocities 
of q
1 
and q
2
respectively.
The third component of force is the induced electric force and depends on relative acceleration of 
q
1
with respect to q
2
. It is given by
F
q q
t
v
r
ei
v
12
0 1 2
1
0
4
2
= −
∂
∂




=
m
p
N.
Electromagnetic disturbances travel with a finite velocity – the velocity of light in the corresponding 
medium. Therefore, in general, the force experienced by q
2
at a time instant t depends on the position 
and velocity of q
1
at an earlier instant. Or, equivalently, the force that will be experienced by q
2
at 
t 
+
r/c depends on r and 
v
1
at t where c is the velocity of light. This effect is called the retardation 
effect. The expressions described above ignore this retardation effect and assume that the changes in 
relative position and velocity of q
1
are felt instantaneously at q
2
.
Retardation effect can be ignored if (i) the speed of charges is such that no significant change can 
take place in r during the time interval needed for electromagnetic disturbance to cover the distance 
and (ii) the acceleration of charges is such that no significant changes in the velocity of charges take 
place during the time interval needed for electromagnetic disturbance to cover the distance between 
charges. The first condition implies that the speed of charges must be small compared to velocity of 
light. This condition is met by almost any circuit since the drift speed associated with current flow 
in circuits is usually very small compared to velocity of light. However, though the speed of charge 
motion is small, it is quite possible that the charges accelerate and decelerate rapidly in circuits such 
that the second condition is not met.
Consider the two point charges in Fig. 1.1-2. q
1
is oscillating with amplitude d and angular 
frequency 
w
rad/sec. However, let us assume that d 
<<
r. Then, neither the distance between the 
charges nor the unit vector between them change much with time. Therefore, the electrostatic force 
experienced by q
2
is more or less constant in time. q
2
is at rest and hence it does not experience any 
magnetic force. However, it will experience a time-varying induced electric force. Let the horizontal 
position of q
1
be given by x 
=
d sin (
w
t) m. Then, velocity of q
1
is 
v
1
=
w
d cos 
w
t m/s. The time 
taken by any electromagnetic disturbance to travel r meters 
is r/c where c is the velocity of light in m/s. The quantity 
∂
∂






t
v
r
1
 
that decides the induced electric force experienced 
by q
2
will change by 
w
w
w
2
d
r
t r c
t
sin
/
sin
+
(
)
−


in that 
time interval. Retardation effect can be ignored only if this 
change is negligible – i.e., only if 
w
r
c
<<
1.
In the context of circuit theory, 
w
is the highest angular 
frequency of time-varying signals present in the circuit and 
r is the largest physical dimension measured in the physical 
circuit. Then, retardation effect due to finite propagation 
q
1
q
2
r
v
2
→
= 0
Fig. 1.1-2 

Pertainingto
retardationeffectin
atwo-chargesystem
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1.4


CircuitVariablesandCircuitElements
speed of electromagnetic waves can be ignored in the analysis of an electrical system if the highest 
frequency present in the circuit and largest dimension of the system satisfy the inequality 
w
r
c
<<
1.
An electrical system in which the retardation effect can be ignored is called a quasi-static electrical 
system. Electric circuit theory assumes that the electrical system that is modeled by an electrical 
circuit is a quasi-static system.