Conference proceedings

Ədəbiyyat: 
1.
Общая теория систем: Сб. докл. М.: Мир, 1966. 188 с. 
2.
Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1968. 356 с. 
3.
Калман Р., Фадб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с. 
4.
Директор С., Рорер Р. Введение в теории систем. М.: Мир, 1974. 469 с. 
COLLECTIVE BEHAVIOR OF NON-EXTENSIVE SYSTEMS 
Azərbaycan Dövlət Neft və Sənaye Universiteti, Bakı, Azərbaycan 
e-mail: 
[e-mail]
 
Currently, much attention is paid to reserch related to the collective behavior of complex systems. 
It is known [1] that colletive behavior is a stable phenomenon that resists external noise, small changes in local 
dynamics, and changes in the initial and boundary conditions.
In this regard, its of interest to noneequilibrium systems that exhibit the so-colled slow dynamics due to spatially 
localized finite-amplitude fluctuations of some intense variables. The bechavior of nonequilibrium systems with slow 
dynamics shows their subordinations to some collective and effective degrees of freedom. 
This feature is reflected in the qualitative form of statistical variables that charterize the dynamic behavior of the 
system.
Systems in thermodynamic equilibrium follow the Boltzmann-Gibbs statics, for wich the key are: 

Determination of the entropy functional 



i
i
i
p
p
k
s
ln
; 

Form of equlibrium distribution 
z
e
p
i
E
i
/


, where 



i
E
i
e
z

; 

Relation ship with thermodynamic potentials. 
N.P.MUSTAFAYEVA

---

Howerer, some nonequilibrum systems and systems with “slow dynamics” exhibit asymptotially power-low 
statistical distributions [2]. These distributions are typical for nonlinear systems for which the most important 
thermodynamic property, the additivity of the Boltzmann-Gibbs entropy, is violated.
The additivity of entropy for equilibrium systems is a consequence of local interaction between the elements of 
the system. Systems where elements interact globally couse symmetry breaking associated with the formation of 
collective modes of intense variables.
In [2,3,4], a generalization of the Boltzmann-Gibbs statistics for nonequilibrium systems with slow dynamics, 
called nonextensive statistics and superstatistics, is proposed.
Thus, a possible reason limiting the applicability of the Boltzmann-Gibbs statistics for nonequilibrium systems 
is the sitation when the systems, revealing their inherent stationary state or slow dynamics, are not only nonergodic, but 
also faz form this state. 
In this connection, it was proposed to characterize the state of complex systems by a more general measure of 
entropy that satisfies the maximum principle. 
Hence, a stationary distribution function of the form [3] is introduced: 
 

  


1
/
1
1
1
1





q
q
u
E
q
z
u
P

(1) 
where 
 
u
E
is the effective energy associated with the variable and the normalization condition [3]: 

  











du
u
E
q
z
q
q
1
/
1
1
1

, 
where 


/
1

is the return temperature; 
q
is the entropy index.
Distribution (1) is obtained as a condition for the maximum of the so-called Tsallis entropy [2]: 










i
q
i
q
p
q
k
S
1
1
1

(2) 
where
i
p
is the given probability.
This, from (2) it follows that the Tsallis entropy is “nonextensive” that is, not additive for an ensemble of 
subsystems.
It should be noted that the Tsallis entropy makes is possible to work with arbitrary heterogeneous structures in 
the context of studying the collective behavior systems.