Computer systems architecture

parts:
The first bit, from the left side, is the sign bit.
The second field is the exponent.

---

The third field is the mantissa.
7. For simplification and to help the human eye comprehend the number, it is usually converted to
hexadecimal. This involves arranging the binary numbers in groups and translating each group
to its equivalent hexadecimal value:
Converting a 754 floating-point number into a decimal number is the reverse process and includes
similar structured steps:
1. Converting the hexadecimal 754 floating point to binary. This is done by replacing each
hexadecimal digit with its binary equivalent (see 
Table 2.3
).
2. Splitting the binary number into the three fields (sign, exponent, mantissa).
3. Converting the binary exponent to a decimal number.
4. Obtaining the real exponent by subtracting 127 from the exponent (step 3 above).
5. Constructing the real number by adding one (the significant digit that is not represented in the
floating point format) to the mantissa.
6. Calculating the number by adding the exponent and sometimes denormalizing it.
7. Adding the sign.
For example, let us assume we need to convert the 754 floating-point number represented by
C2F00000.
1. First we will convert the hexadecimal number to its binary equivalent:
2. Then we will divide the number into the different groups:
3. Now we have to convert the binary exponent into a decimal number:
4. Next we have to obtain the real exponent (by subtracting 127 from the decimal value calculated
in step 3):
5. Then we construct the number by adding the significant digit to the fraction in the number:
6. The next stage is to construct the whole number (including the exponent):

---

7. The last step consists of adding the sign, which in this case was negative:
Adding Floating-Point Numbers
Floating-point numbers cannot be added directly like binary or decimal numbers because the
fraction point in the two numbers may be in different locations. Therefore, before adding two
floating-point numbers, the fraction points have to be aligned.
As with converting to floating point, adding such numbers is a structured process that follows
several steps:
1. Converting the two hexadecimal numbers to binary numbers
2. Splitting the numbers into the three groups
3. Aligning the exponents of the two numbers by increasing the smaller exponent
4. Adding the fractions
5. Normalizing the result
6. Checking for overflow
For example, let us assume we have to add the two floating-point numbers BEE00000 and
3F000000.
1. First, we will convert the numbers to binary:
2. Next, we will extract the groups:
3. We then align the exponents by increasing the lower one:
4. Next, we have to add the fractions (a simple binary addition):
5. The unnormalized result is
6. Normalizing the result produces
7. We then convert to 754:

---

Just to verify the results, it is possible to add the numbers by converting to decimal, and then we’ll
get
In addition, when converting back, we will get
Multiplying Floating-Point Numbers
Multiplying floating-point numbers is simpler than multiplying ordinary (decimal) numbers. As in
the previous case, the process is based on several steps:
1. Converting the two hexadecimal numbers to binary numbers
2. Splitting the numbers into the three groups
3. Adding the exponents of the two numbers (simple integer addition)
4. Multiplying the fractions of the two numbers (simple binary multiplications)
5. Calculating the sign bit by performing a XOR
*
operation on the two sign bits. This means that
when multiplying two positive or two negative numbers the result will be positive, while if one
number is positive and the other is negative, the result will be negative.
6. Normalizing the result
For example, let us assume we have to multiply the two floating-point numbers BEE00000 and
3F000000.
1. First we will convert the numbers to binary:
2. Next we will extract the groups:
3. Next we have to add the exponents:
4. Then we have to multiply the fractions:

---

The fraction and the exponent are combined so the result is 
5. In this case, the result is normalized. In those cases when it is not, it will have to be normalized.
6. The two sign bits are different, so the XOR function will return “True” and thus the result will
be negative.
7. When converting back to 754 format, we will get the result 
.
For verifying the result, we can multiply the numbers using the ordinary long way (converting the
numbers to decimal, multiplying the decimal numbers, and then converting back to a 754 floating-
point number):
In addition, when converting back, we will get that
Decimal Numbers Representations
Decimal numbers are natural to human beings, and binary numbers are “natural” to computers. The
migration between the two types is sometimes not as straightforward as might be anticipated. For
that reason, over the years, additional intermediate formats have been defined, mainly for
representing decimal numbers without the need for migration.
One of the most well-known formats is BCD (binary coded decimal), which uses four bits for
representing a decimal digit. The format is sometimes referred to as 8421. These numbers are the
weights of the binary digits in the migration process. The BCD value is calculated by multiplying
each bit by its weight, and the weight is the appropriated power of 2. This is similar to the process of
migrating binary numbers to decimal with the exception that BCD numbers have only 10 digits, so
some of the combinations are illegal. Let us consider an example:
Migrating the binary number 0111
2
to a decimal number is performed by
or
Unlike binary numbers, for which there exists a decimal value for each combination of the 4 bits,
when using BCD, some values remain unused; 1010
2
, 1011
2
, 1100
2
, 1101
2
, 1110
2
and 1111
2
, which
represent the decimal values of 10, 11, 12, 13, 14, and 15, do not exist in BCD (see 
Table 2.4
).
As far as efficiency is concerned, the binary codes are the most efficient due to the full usage of the
possible values. BCD numbers, on the other hand, are less efficient since this format uses only 10
values out of the possible 16 (with 4 bits).
TABLE 2.4
Decimal Numbers’ Representations

---

Decimal
BCD (8421)
2421
84-2-1
Excess-3
0
0000
0000
0000
0011
1
0001
0001
0111
0100
2
0010
0010
0110
0101
3
0011
0011
0101
0110
4
0100
0100
0100
0111
5
0101
1011
1011
1000
6
0110
1100
1011
1001
7
0111
1101
1001
1010
8
1000
1110
1000
1011
9
1001
1111
1111
1100
Migration between BCD and binary numbers is very easy and simple; however, using this format
in calculation is quite complicated, and for that reason, the format is seldom used. The PC family of
computers includes special instructions for supporting BCD mathematical operations.
The biggest problem associated with BCD numbers, however, is related to the fact that the
complement value of a digit requires some thinking, and it cannot be obtained automatically as with
binary numbers. For that reason, some other formats have been adopted. One such format is 2421.
As with the previous format, in this case the digits represent the weights to be used in calculating the
value of the number. An additional format is 84-2-1, and in this case, some of the weights are
negative. In addition, there is the Excess-3 format, which is based on the 8421 calculation, but prior
to the calculation the value is increased by 3. This means that the representation of an Excess-3
number is identical to the BCD representation of the number plus 3.
Key Takeaway
•
Numerical systems
: A numerical system is an order method for representing numbers using
“digits” (or some agreed-upon symbols). When being used in calculations, such a system should
include a limited number of digits and should support infinite numbers.
•
The decimal numbering system
: The standard system used by humans. It includes 10 symbols
(digits), so its base is 10. The value of the number is obtained by multiplying each digit’s value
by a power of 10 designated by the location and summing up all values.
•
Other numbering systems
: It is possible to define additional numerical systems using any base.
The digits participating in such a system for base n are 0, 1, 2,…, n-1.
•
The binary system
: The binary system is just an additional system; however, it is important in
the computing context. Since computers use two values (on, off) the binary system uses two
digits (called bits—binary digit).
•
The hexadecimal system
: The system that uses 16 digits (the ordinary 0–9 and A, B, C, D, E, F). It
is important since 16 is a power of 2, so hexadecimal numbers can be used to represent binary
numbers in such a way that they are more readable. This is especially true for large numbers.
•
Base conversion
: There are several cases in converting between the various systems:
•
Binary to decimal
: Converted by calculating the value of the binary number.
•
Decimal to any other base
: Converted by dividing the decimal number by the base in a
repeated way, while collecting the remainder. The process stops when the result is 1.0. This

---

can be an indefinite process.
•
Binary to another base that is a power of two
: Converted by combining several binary bits
together. The number of bits to be combined is the power of two.
•
Base that is a power of two to binary
: This is converted by translating each digit into its binary
equivalence starting from the left.
•
Any base to any base
: The easiest way to do this is to convert to a decimal number as an
intermediate step.
•
Negative binary numbers
: Contrary to the “−” (the minus sign) used in decimal notation, the sign
in binary notation is actually part of the number. There are three ways to represent signed
numbers:
•
Sign and magnitude
, in which the first bit is the sign bit (one denotes a negative number) and
the other bits are the value (or the magnitude of the number). This representation resembles
the normal decimal notation of a sign followed by a number.
•
One’s complement
, in which the positive number is migrated to a negative one by flipping each
bit.
•
Two’s complement
, in which the binary number is obtained by the one’s complement plus
adding a binary one.
Most systems use the two’s complement notation.
•
The number’s range
: Refers to the understanding that binary numbers that are part of a byte (8
bits) are limited in range. When using the first two negative representations (sign and
magnitude and one’s complement), there are two possible values for zero. Two’s complement
has one zero, but the two sides of the number (positive and negative) are of different lengths
(there is one additional negative value).
•
Standard IEEE 754
: A standard for representing real binary numbers. The standard resembles
the scientific notation with some minor modifications. The binary number is divided into three