Citations reads

5-lemma. Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi baholashni qanoatlantiradi:

	(2)	 M h	3	, i=0,1,…,N-1,
	i 1

mos

• 
  ( 2)
  
  1. 
     1
     

ravishda

quyidagi
(58)

bu yerda M – chekli oʻzgarmas son boʻlib barcha i lar uchun bir xil va un-ing qiymati M1 – M6 larning qiymatlari orqali topiladi.
Isbot. (58) baholashni chiqarishning gʻoyasi Eyler oshkor usulining

40. 
    baholashinikiga oʻxshash (bu yerda M oʻzgarmasning qiymati har ikkala usul uchun bir biridan farq qiladi). Qaralayotgan usulning lokal xatoligi uchun ushbu
    

	(2)	 y	(i)	(x	)  y
	i1			i1	i1

(59)

ifodasida yi+1 toʻr yechimni unga teng boʻlgan va hisob ifodasining h ning darajalari boʻyicha Teylor qatoriga yoyilmasi hisob formulasidan topilgan miqdori bilan almashtiramiz, bunda ishonch hosil qilamizki, u h boʻyicha

talab qilingan kichiklik darajasiga koʻra cheksiz kichik.

Yuqoridagi (59) formulada

y

(i )

(x

i 1

)

miqdor, Eylerning oshkor usu-

lidagi kabi, ushbu



(i )

(i )

y

 (x

i 1

) 

f (x, y

(x))

,

(60)

y

(i )

(x

i 1

)

 y

(61)

i

differensial tenglama yordamchi yechimining – Koshi masalasi yechimin-ing xi+1 nuqtadagi qiymati.

Bu qiymatni Teylor formulasi boʻyicha ifodalaymiz, bunda yoyilman-ing uchunchi tartibgacha kichiklikdagi hadlarini saqlab qolamiz:

y ^(^i ^) (xi 1 )  y ^(^i ^) (xi )  y ^(^i ^) ' (xi

)h 

1

y ^(^i ^) ' ' (xi )h^2



1

y ^(^i ^) ' ' ' (xi i h)h^3 .

(62)

2

6

(60) va (61) tengliklarga koʻra

y

(i )

(x

i 1

)  y

i ,

y

(i)

'(xi1 )  f (xi , y

(i)

(xi ))  f (xi , yi ) .

(63)

Bundan tashqari avval (60) tenglikni differensiallab, keyin esa uni qayta qoʻllab, quyidagi munosabatga kelamiz:

y

(i)

''(x) 

f

'(x, y

(i)

(x))  f

'(x, y

(i)

(x))y

(i)

'(x) 

x

y



f		'(x, y	(i)	(x)) 
	x

f		'(x, y	(i)	(x))
	y

f
(x,

y	(i )	(x))

,
(64)

bu yerda x = xi almashtirish olib, (61) ga koʻra quyidagi tenglikka ega

^boʻlamiz: y(i) ''(x)  f x '(xi , yi )  f y '(xi , yi )  f (xi , yi ) .	(65)
26

63. 
    va (65) lardan foydalanib, (62) yoyilmani quyidagicha yozish mum-
    

kin:

y

(i )

(x

)  y

 f (x

, y

)h 

1

f

' (x

, y

)  f

' (x

, y

)  f (x

, y

)h

2



i 1

i

x

y

i

i

2

i

i

i

i

i

i

• 
  1 y (i ) ' ''(xi i h)h3 6
  

(66)

Lokal xatolik uchun (59) ifodadagi yi+1 miqdor (54) formula orqali beriladi. Bu ifodaning oʻng tarafini ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun (xi,yi) nuqtada Teylor formulasi boʻyicha yoysak, quyidagini hosil qilamiz:

y

 y

