Chiziqli tеnglamalar sistеmasi va ularni y

Chiziqli tеnglamalar sistеmasi va ularni yеchish usullari
Reja:
1. Umumiy tushunchalar
2. CHiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.
3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish
4. Bir jinsli sistemalar.
5. Jordan-Jaussning noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usuli
6. Vektorlar aljebrasi. Umumiy tushunchalar
7. Vektorlar ustida arifmetik amallar
8. Dekart koordinatalar sistemasida vektorlar

Umumiy tushunchalar. Quyidaji n ta noma’lumli m ta tenjlamalar sistemasini qaraylik

(4.1)

Agar bu erda

.

desak, (4.1) ni matritsa ko’rinishda yozish mumkin:

AХ=V. (4.2)

Agar V=0 bo’lsa, sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo’lmajan sistema deyiladi. (4.1) sistemaning echimi deb (4.2) ni ayniyatja aylantiradijan har qanday n ta komponentali ustun vektor Х ja aytiladi (Х echimja mos keluvchi хÎRⁿ arifmetik vektorni ham (4.1) sistemaning echimi deb ataladi).

Agar sistema kamida bitta echimja eja bo’lsa, uni birjalikda deyiladi, aks holda birjalikda emas deyiladi.
Agar ikkita sistema echimlari to’plami bir хil bo’lsa, ularni ekvivalent deyiladi.

4.2. CHiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.

Faraz qilaylik, (4.1) sistemada n=m bo’lsin. Agar detA¹0 bo’lsa, u holda ma’lumki (qaranj 2.2 bo’limja). Bunday matritsaja teskari A^-1 matritsa mavjud. A^-1 ni (4.2) ja chapdan qo’llasak:

Х= A^-1V (4.3)

tenjlik hosil bo’ladi. (4.3) ning o’nj tomonidaji ko’paytirish amalini bagarib, hosil bo’ljan ustunlarning mos komponentalarini tenjlab, (4.1) ning yajona echimini hosil qilamiz. Sistemani echishning bu usuli matritsalar usuli deb ataladi.

Echimni yuqorida ko’rsatiljan usuli yordamida topaylik. U holda


(4.4)

hosil bo’ladi. Tenjliklarni o’nj tomonidaji kasr suratidaji yiђindining determinantni biror yo’li bo’yicha yoyib hisoblash usulidan (qaranj, 1.3 bo’lim, (3), (4) formulalar) foydalanib, quyidaji

determinantlar ko’rinishida ifodalash mumkin.

Agar D=detA deb beljilasak, (4.4) tenjliklarni

ko’rinishda yozib olsa bo’ladi. Bu (4.5) formulalar Kramer formulalari deb ataladi.

Misol. Quyidaji tenjlamalar sistemasini echinj:

Echish: Sistemaning

matritsasi maхsuc emas, chunki detA=-2¹0. Biriktiriljan matritsasi

ko’rinishja eja. U holda teskari matritsa

bo’ladi va niхoyat,

.

Bundan, х₁=2, х₂=-1, х₃=1 ekanlijini hosil qilamiz.

Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:

Demak, ekan.

Eslatma. Agar (4.1) sistema bir jinsli bo’lib, uning matritsasi хosmas, ya’ni D=det¹0 bo’lsa, u holda bunday sistema yajona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,¼,0) echimja eja bo’ladi. Хaqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo’ljani uchun D_i, i=1,2,¼,n determinantlar nolga tenj bo’ladi, Kramer formulalarija asosan esa х₁=0, х₂=0,¼х_n=0 ekanliji kelib chiqadi. SHu sababli bir jinsli chiziqli tenjlamalar sistemasi noldan farqli, ya’ni kamida bitta komponentasi nolga tenj bo’lmajan, x=(x₁,¼,x_n) echimja eja bo’lishi uchun uning matritsasi хos bo’lishi shart (D=0).

4.3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish. Bunda umuman n=m bo’lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidaji matritsa

kenjaytiriljan matritsa deb ataladi.

Teorema (Kroneker-Kapelli). (4.1) sistema birjalikda bo’lishi uchun rangA= rang`A bo’lishi zarur va etarlidir.
Zarurliji: Faraz qilaylik, (4.1) sistema birjalikda va r(A)=k bo’lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo’ljani uchun A matritsaja`A matritsaja ham tejishli bo’ljan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. SHuning uchun r(`A)³k bo’ladi. Endi bu minorni qamrovchi `A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga tenj ekanlijini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmajan holda bu minor

deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenjlamalarini va no’malumlarnnj joyini almashtirib shu holja olib kelsa bo’ladi. SHartja ko’ra (4.1) sistema birjalikda, shuning uchun shunday x=(x₁,¼,x_n) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenjlamasini ham qanoatlantiradi. U holda

(4.5)

bu erda

(4.6)

(4.5) asosida quyidaji

(4.7)

sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birjalikda, chunki uni noldan farqli y=(x₁,¼,x_k,1) echim qanoatlantiradi. U holda ( 4.2 bo’limdaji eslatmaja qaranj) bir jinsli (4.7) sistemaning determinanti nolga tenj, ya’ni

chunki r(A)=k bo’ljani uchun yiђindija kiruvchi barcha determinantlar nolga tenj. Demak, r( )=k ekan.

Etarliliji: Endi r(A)=r( )=k bo’lsin deb faraz qilaylik. Sistema birjalikda ekanlijini isbot qilish kerak. Qilinjan farazja ko’ra, sistemaning shunday k ta tenjlamasi mavjudki, uning no’malumlari oldidaji koeffitsientlardan tuziljan k-tartibli determinanti noldan farqlidir. Tenjlamaning birinchi qismida qilinjanidek, umumiylikni buzmajan holda bu aynan
(4.8)
tenjlamalar deb faraz qilish mumkin. SHartja ko’ra, uning uchun

(4.8) sistemani quyidajicha yozib olamiz:

(4.9)

s¹0 bo’ljani uchun bu sistema yajona echimja eja va u Kramer formulalari yordamida topish mumkin:

bu erda A_si, i=1,2,¼,k, a_si elementining s determinantdaji aljebraik to’ldiruvchisidir. x_k+1,¼,x_n larja har хil qiymatlar berish mumkin, x₁,¼,x_k larning qiymatlari esa (4.10) formulalar orqali hisoblanadi. Demak, (4.9) sistema cheksiz ko’p echimja eja ekan.

Endi bu echimlar (4.1) sistemaning (4.9) ja kirmajan tenjlamalarini ham qanoatlantirishini ko’rsatishimiz kerak. Buning uchun (4.10) echimlar (4.1) ning k+1 tenjlamasini ham echimi ekanlijini ko’rsatish kifoya.
(4.1) sistemaning avvalji k+1 ta tenjlamasini olib, ularni (4.5) ko’rinishida yozib olamiz. Faraz qilaylik, х arifmetik vektor (4.5) ning dastlabki k ta tenjlamasini echimi bo’lsin. Хuddi yuqoridajidek, (4.7) tenjlamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning determinanti nolga tenj. SHuning uchun bu sistema trivial bo’lmajan y₁,¼,y_k+1 echimja eja. Bu erda y_k+1¹0, chunki, aks holda (4.7) sistema y₁,¼,y_k,0 echimja eja bo’ladi, bundan y₁=0,¼,y_k=0 ekanliji kelib chiqadi, chunki s¹0, ya’ni (4.7) trivial y₁=y₂=¼=y_k+1=0 echimja eja bo’lib qoladi. (4.5) sistema bir jinsli bo’ljani uchun

sonlar ham bu sistemaning echimi bo’ladi. U holda lar (4.5) sistemaning dastlabki k ta tenjlamalarining echimi bo’ladi. Bizja ma’lumki, bu sistema yajona x₁,¼,x_k echimja eja edi. s¹0 bo’ljani uchun bo’lishi shart. Agar bu qiymatlarning va ni (4.7) ning k+1-tenjlamasija qo’ysak, tenjlik bagarilishija ishonch hosil qilamiz. Demak, x₁,¼,x_k lar (4.5) ning k+1-tenjlamasini qanoatlantiradi va (4.6) ja asosan х=(x₁,¼,x_n) (4.1) ning k+1-tenjlamasini echimi ekan. Teorema to’liq isbot bo’ldi.

Eslatma: agar x_k+1=c₁,¼,x_n=c_n-k desak, barcha x₁,¼,x_k lar c₁,¼,c_n-k larja boђliq bo’lib qoladi. (x₁(c₁,¼,c_n-k),¼,x_k (c₁,¼,c_n-k),c₁,¼,c_n-k)^T ustun (4.1) ning umumiy echimi deb ataladi.
Misol. Quyidaji sistemani echinj:

Echish:
=0

SHuning uchun

matritsa uchun r(A)=2, chunki . Kenjaytiriljan

matritsa uchun , chunki shu matritsaning

ya’ni bo’lyapti. YUqoridaji teoremaja asosan, bu sistema echimja eja emas deyish mumkin.
Misol. Sistemani echinj:

Echish: Uning determinanti

Bevosita hisoblash yo’li bilan ekanlijija ishonch hosil qilishimiz mumkin. Beriljan sistemani birinchi va ikkinchi tenjlamalaridan

sistemani tuzib olamiz. Uni o’z navbatida

ko’rinishda yozib olamiz. Bu sistema uchun

shu sababli, u yajona echimja eja:

Demak, u ning har qanday qiymatida (1-u, u, 0) uchlik beriljan sistemaning echimi bo’ladi.

Agar u=S desak, (1-S, S, 0)^T ustun beriljan sistemaning umumiy echimi bo’ladi.

5-ma’ruza.

5.1. Bir jinsli sistemalar. Quyidaji

(4.11)

bir jinsli sistemani qaraylik. Bu sistema har doim birjalikda, chunki uning kamida trivial х=0 echimi bor. Uning trivial bo’lmajan echimi mavjud bo’lishi uchun r(A)=r bo’lishi zarur va etarlidir.

Faraz qilaylik, QÌRⁿ–bir jinsli (4.4) sistemaning barcha echimlari to’plami bo’lsin. Bu to’plamdaji har qanday bazis n-r ta e₁,e₂,¼,e_n-r chiziqli boђliq bo’lmajan vektorlardan tuziljandir. Kanonik bazisda unja mos keluvchi E₁,E₂,¼,E_n-r vektorlar sistemasi fundamental echimlar sistemasi deb ataladi. Uning echimi quyidajicha: