Chiziqli tenglamalar sistemasi muvozanat holatining turlari

Arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi. Vektor uzunligi

Skalyar ko`paytma xossalari
Berilgan x = (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>n</sub>) va y = (y<sub>1</sub>; y<sub>2</sub>; …; y<sub>n</sub>) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_ny_n yoki

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:

yoki .

Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:

1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),

2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).

4. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi

Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:

|(x, y)| ≤ |x| |y|.
Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.

Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda
(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).
tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:


R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi
|x + y| ≤ |x| + |y|
tengsizlik o`rinli.