Chiziqli operatorlarning ba`zi bir tatbiqlari

a ... a 11 ₁₂ 1n
a ... a
A²¹ ₂₂ 2n (2)
... ... ... ...
a ... a n1 n2 _nn
Bu matritsaning d determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga o`tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo`ladi. Ma`lumki, A matritsaga
teskari matritsa
A<sub>11</sub>/d A<sub>21</sub>/d ... An1 /d
A<sup>12</sup> /d A<sub>22</sub> /d ... An2 /d
B ... ... ... ...
A1n /d A2n /d ... A<sub>nn</sub> /d
A<sub>ij</sub> esa A matritsaning a<sub>ij</sub> elementining algebraik to`ldiruvchisi.
(1) ning birinchi tenhligini A_1j ga, ikkinchisini A_{2 j} ga va hakazo n-sini esa A_nj ko`paytirib, so`ngra ularni qo`shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
n
e11A1 j e12A2 j ... en1 Anj ei (a1i A1 ja2i A2 j .... ani Anj )
i 1
i ustun elementlarini mos j ustun algebraik to`ldiruvchisiga ko`paytmalari
yig`indisi i j bo`lganda nolga tengligini hisobga olsak (i j da d ga teng)

Oxirgi tenglikdan e₁¹A_{1 j} e¹₂A_{2 j} ... e¹_n A_nj e_jd bundan

A ^{1 j 1} A^{2 j 1} A^{nj 1} e_j e₁ e₂ .... e_n , j 1,2,...,n d d d
yoki
e1 en ,
^e2 d d d^{n2 e1n ,} (4)
............................................
A1n e11 A2n e12 .... Ann e1n
en
d d d
(4) formula e₁¹,e¹₂ ,...,e¹_n bazisdan e₁,e₂,...,e_n bazisga o`tish matritsasi A matritsaga teskari matritsa orqali o`tishni ifodalaydi. Bu A matritsaga teskari matritsani A¹ orqali belgilaymiz.
Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat.
Maxsusmas (2) matritsa orqali e₁,e₂,...,e_n bazisdan e₁¹,e¹₂ ,...,e¹_n bazisga o`tilgan bo`lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo`lsin. (x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> ) esa uni
e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,...,e<sub>n</sub> bazisdagi koordinatasi (x<sub>1</sub><sup>1</sup>,x<sup>1</sup><sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub><sup>1</sup> ) esa e<sub>1</sub><sup>1</sup>,e<sup>1</sup><sub>2</sub> ,...,e<sup>1</sup><sub>n</sub> bazisdagi
koordinatasi bo`lsin, ya`ni

x x₁¹e₁¹ x¹₂e¹₂ ... x¹_ne¹_n x₁e₁ x₂e₂ ... x_ne_n
e₁,e₂,...,e_n lar o`rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo`yib

nn e1n ). d d d d
Oxirgi tenglikdan e₁¹,e¹₂ ,...,e¹_n bazis bo`yicha yagona yoyilma o`rinli ekanligidan
(x₁,x₂,...,x_n ) koordinatadan (x₁¹,x¹₂ ,..., x¹_n ) koordinataga o`tish formulasi kelib chiqadi:

x11xn ,
x12xn , d d d (5)
..............................................
1 An1 An2 Ann

xn x1 x2 .... x d d d ⁿ
T asdiq Ixtiyoriy maxsusmas A matritsa uchun teskari A ¹ matritsa yagonadir
Isboti Faraz qilaylik yana bir C matritsa mavjud va

AC CA E bo`lsin U holda

CAA
CAA
bundan C A ¹ kelib chiqadi
1.4. Evklid fazosi va uni sodda xossalari.
R haqiqiy chiziqli fazo haqiqiy evklid fazosi ( yoki evklid fazosi) deyiladi agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   Ushbu fazoning ixtiyoriy ikkita x va y elementlariga ularni skalyar ko`paytmasi deb ataluvchi (x, y) haqiqiy sonni mos qo`yish qoidasi berilgan bo`lsa.
   
2. 
   Ushbu aniqlangan skalyar ko`paytma quyidagi to`rtta aksiomani qanoatlantirsa:
   

1. 
   ( x, y)(y,x) (o`rin almashtirishlik va simmetriklik xossasi).
   
2. 
   ( x₁ x₂,y) (x₁,y) (x₂,y) (tarqatish xossasi).
   
3. 
   ( x, y) (x, y) barcha haqiqiy lar uchun.
   
4. 
   ( x,x) 0, agarda x noldan farqli element bo`lsa; (x,x) 0, agar x nol element bo`lsa.
   

Agar o`rganiladigan ob`ektlar va yoqorida sanalgan qoidalar berilgan bo`lsa , u holda evklid fazosi konkret (aniq) fazo deyiladi.
Evklid fazosiga misollar keltiramiz.
1-misol. Barcha erkin vertorlarning B<sub>3</sub> chiziqli fazosini qaraylik.Ikkita ixtiyoriy vektorining skalyar ko`paytmasini analitik geometriyaga aniqlanga skalyar ko`paytma kabi kiritaylik( ya`ni bu vektorlar uzunligini ko`paytmasiga ular orasidagi burchak kosinusini ko`paytmasi).U holda ko`rish qiyin emaski skalyar ko`paytmadagi 1- 4 xossalar bajariladi. Demak, B₃ fazo ushbu aniqlangan skalyar ko`paytmaga nisbatan evklid fazosi bo`ladi.
2-misol. Barcha a x b oraliqda aniqlangan va uzluksiz x(t) funksiyalarning C[a,b] cheksiz o`lchovli chiziqli fazosini qaraylik. Ikkita x(t) va y(t) funksiyalarning skalyar ko`paytmasini bu funksiyalarni ko`paytmasini ( a dan b gacha ) integrali sifatida aniqlaymiz:
b
<sub>x(t)y(t)dt.</sub> (1)
a
Sodda ko`rish mumkinki skalyar ko`paytmadagi 1-4 xossalar bajariladi.Demak,
C[a,b] fazo ushbu aniqlangan (1) skalyar ko`paytmaga nisbatan cheksiz o`lchovli evklid fazosi bo`ladi.
3-misol. n o`lchovli chiziqli A<sup>n</sup> fazo evklid fazosiga misol bo`la oladi.Agarda unda ixtiyoriy ikkita x (x₁,x₂,...,x_n ) va y (y₁,y₂,...,y_n ) vektorlar uchun skalyar ko`paytmani quyidagicha aniqlasak
(x,y) x<sub>1</sub>y<sub>1</sub> x<sub>2</sub>y<sub>2</sub> ... x<sub>n</sub> y<sub>n</sub> (2)
Ko`rish qiyin emaski,ushbu kiritilgan skalyar ko`paytma uchun 1- 4 aksiomalar bajariladi.
Bu evklid fazosi ko`p hollarda Eⁿ orqali belgilanadi.
4-misol.Ushbu Aⁿ chiziqli fazoda skalyar ko`paytmani (2) dan farqli ,unga nisbatan umumiy bo`lgan holda kiritaylik.
Buning uchun n tartibli ushbu kvadrat matritsani qaraymiz:

a11 a12 ... a1n a²¹ a²² ... a2n
_A (3)
... ... ... ... n1 an2 ... a_nn
Ushbu matritsa yordamida x₁,x₂,...,x n o`zgaruvchili bir jinsli ikkinchi tartibli ko`phad tuzamiz:
_{a xi}x_k , (4)
Bunday ko`phad (3) matritsadan tuzilgan kvadtik forma deyiladi. (4) kvadratik forma musbat aniqlangan deyildi, agarda u x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> o`zgaruvchilarning hammasi bir vaqtda nol teng bo`lmagan qiymatlarida musbat qiymatni qabul qilsa. Demak, musbat aniqlangan kvadratik forma faqat x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> ... x<sub>n</sub> 0 bo`lganda nolga teng,boshqa barcha hollarda musbat qiymat qabul qiladi.
(3) matritsa quyidagi ikkita shartni qanoatlantirsin:

1. 
   U musbat aniqlangan (4) kvadratik formani ifodalasin.
   
2. 
   S immetrik bo`lsin (bosh dioganalga nisbatan) ya`ni barcha i 1,2,...,n va k 1,2,...,n lar uchun a_ik a_ki shartni qanoatlantirsin.
   

1 - va 2- shartlarni qanoatlantiruvchi (3) matritsa yordamida Aⁿ fazodagi ikkitax (x₁,x₂,...,x_n ) va y (y₁,y₂,...,y_n ) lar uchun skalyar ko`paytmani quyidagicha aniqlaymiz:
<sub>(x,y) a xi</sub>y<sub>k</sub> , (5)
Oson ko`rish mumkinki, bunday aniqlangan skalyar ko`paytma uchun 1-4 arsiomalar bajariladi.
Ta`rif. Chiziqli R fazo normallangan deyiladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   R dagi har bir x element uchun unning normasi ( uzunligi) deb ataluvchi va x deb belgilanuvchi haqiqiy son mos qo`yadigan qoida aniqlamgan bo`lsin.
   
2. 
   Ushbu aniqlangan qoida uchun quyidagi uchta aksioma bajarilsin:
   

1. 
   . x 0, agarda x noldan farqli element bo`lsa, x 0 agarda x 0 element bo`lsa.
   
2. 
   . x x barcha x elementlar va barcha haqiqiy sonlar uchun.
   
3. 
   . Ixtiyoriy x va y elemenlar uchun quyiqagi uchburchak tengsizligi yoki
   

Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi
x tengsizlik o`rinli.
II bob. Chiziqli operatorlar.
2.1.Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari.
1-ta`rif. V va W lar mos ravishda n va m o`lchovli chiziqli fazolar bo`lsin. V ni W ga o`tqazuvchi A operator deb, A:V W akslantirishga aytiladiki, u V ning har bir x elementini W fazoning biror y elementiga o`tqazadi.
2-ta`rif. V ni W ga o`tqazuvchi A operator chiziqli operator deyiladiki, agarda
V ning ixtiyoriy ikkita x₁va x₂ hamda λ kompleks son uchun quyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   A(x₁ x₂) Ax₁ Ax₂ (operatorni additivligi)
   
2. 
   A( x) Ax (operatorning bir jinsligi)
   

Agar W fazo kompleks tekislikdan iborat bo`lsa, u holda V ni W ga o`qazuvchi A chiziqli operator chiziqli forma yoki chiziqli funksional deyiladi.
Agar W fazo V fazo bilan ustma-ust tushsa, u holda V ni V ga o`tqazuvchi chiziqli operator V fazoni chiziqli almashtirishi deyiladi.
A va B V ni W ga o`tqazuvchi ikkita chiziqli operator bo`lsin. Bu operatorlarning AB yig`indisi deb quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga aytamiz:

(A B)x Ax Bx (1)
A operatorning λ skalyarga ko`paytmasi Adeb , quyidagi tenglik bilan aniqlangan
operatorga aytiladi:
( A)x (Ax) (2)
O nol operator deb, V fazoning barcha elementlarini W fazoning nol elementiga o`tqazuvchi operatorga aytiladi:
Ox 0.
A operatorga qarama-qarshi operator deb quyidagicha aniqlangan Aoperatorga aytiladi:
A ( 1)A.
Tasdiq. Barcha V ni W ga o`tqazuvchi operatorlarning L(V,W) to`plami yuqorida aniqlangan operatorlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari hamda tanlangan nol operator va qarama-qarshi operatorlarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.
L(V,W) to`plamni o`rganamiz.
Aynan yoki birlik I operator deb quyidagi operatorga aytiladi: