Chiziqli funksiya. Vektor fazoda aniqlanadigan eng sodda funksiyalardan biri chiziqli funksiyadir. 25. 1-ta’rif

Bichiziqli formalar. Endi bichiziqli va kvadratik funksiyalar (formalar) tushunchalarini kiritamiz. Bu tushunchani dastlab, haqiqiy sonlar maydonida aniqlangan vektor fazo uchun kiritamiz. 25.2-ta’rif. Agar to‘plamni maydonga o‘tkazuvchi akslantirish aniqlangan bo‘lib, quyidagi shartlar o‘rinli bo‘lsa,

ya’ni, bitta o‘zgaruvchining tayinlangan qiymatida ikkinchi o‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli funksiya bo‘lsa, u holda bichiziqli forma deb ataladi.

Misol 25.1. V chiziqli fazo sifatida uzluksiz funksiyalar to‘plamini qaraylik. funksiya ikki o‘zgaruvchi uzluksiz funksiya bo‘lsin.Agar

bo‘lsa, A f g ( , ) funksiya V fazoda aniqlangan bichiziqli forma bo‘ladi. 25.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy x, y vektorlar uchun A x y A y x ( , ) ( , )  tenglik o‘rinli bo‘lsa, bichiziqli forma simmetrik bichiziqli forma deyiladi. Yevklid fazosidagi ( , ) x y skalyar ko‘paytma simmetrik bichiziqli formaga misol bo‘ladi.179 Bichiziqli formaning matritsasi. Biz bichiziqli formaning aksiomatik ta’rifini berdik. Endi n o‘lchamli fazoda biror 1 2 , , ..., n e e e bazis tanlab olamiz, hamda A x y ( , ) bichiziqli formani x va y vektorlarning bu bazisdagi 1 2 , , ...,    n va 1 2 , , ...,   n koordinatalari orqali ifodalaymiz. Bu holda: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( ... , ... ). A x y A e e e e e e              n n n n Bichiziqli formaning xossalariga asosan: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ... , ... ) A e e e e e e              n n n n 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) ... ( , )            A e e A e e A e e n n 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ... ( , )            A e e A e e A e e n n ................................................................................ 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ... ( , )           n n n n n n n n A e e A e e A e e . yoki qisqacha: , 1 ( , ) ( , ) . n i j i j i j A x y A e e      ( , ) A e e i j o‘zgarmaslarni i j , a kabi belgilasak, n o‘lchamli fazodagi xar qanday bichiziqli forma berilgan 1 2 , , ..., n e e e bazisda , , 1 ( , ) n i j i j i j A x y a      ko‘rinishida yozilishini hosil qilamiz, bu yerda 1 2 , , ...,    n va 1 2 , , ...,   n sonlar mos ravishda x va y vektorlarning shu bazisdagi koordinatalari. Ma’lumki, i j , a sonlar bazisning tanlab olinishigagina bog‘liq bo‘lib,180 1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, ,1 ,2 , ... .... .... .... .... .... ... n n n n n n a a a a a a A a a a              matritsa A x y ( , ) bichiziqli formaning 1 2 , , ..., n e e e bazisdagi matritsasi deyiladi. Shunday qilib, ixtiyoriy A x y ( , ) bichiziqli forma berilgan bazisda , ( ) A a  i j matritsa bilan aniqlanadi. Endi bazis o‘zgarganda bichiziqli forma matritsasining o‘zgarishi ko‘rib chiqamiz. Bizga n o‘lchamli fazoda ikkita 1 2 , , ..., n e e e va 1 2 , , ..., n f f f bazislar berilgan bo‘lsin. A x y ( , ) bichiziqli formaning 1 2 , , ..., n e e e bazisdagi matritsasini , ( ) A a  i j va 1 2 , , ..., n f f f bazisdagi matritsasi esa , ( ) B b  i j kabi belgilaylik. Bundan tashqari, 1 2 , , ..., n e e e bazisdan 1 2 , , ..., n f f f bazisga o‘tish matritsasi 1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, ,1 ,2 , ... ... ... ... ... ... ... n n n n n n c c c c c c C c c c              bo‘lsin, ya’ni 1 1,1 1 2,1 2 ,1 2 1,2 1 2,2 2 ,2 1, 1 2, 2 , ... , ... , ........................................... ... , n n n n n n n n n n f c e c e c e f c e c e c e f c e c e c e                    25.4-teorema. Agar A va B matritsalar A x y ( , ) bichiziqli formaning mos ravishda 1 2 , , ..., n e e e va 1 2 , , ..., n f f f bazislardagi matritsalari bo‘lib, 1 2 , , ..., n e e e bazisdan 1 2 , , ..., n f f f bazisga o‘tish matritsasi C bo‘lsa, u holda181 T B C AC  bo‘ladi, bu yerda, T C matritsa C matritsaning transponirlangan matritsasi. Isbot. Ta’rifga ko‘ra , ( , ) i j i j b A f f  ekanligi ma’lum. Endi 1, 1 2, 2 , ... , i i i n i n f c e c e c e     1, 1 2, 2 , ... j j j n j n f c e c e c e     tenglikdan foydalanib, , , , 1 1 ( , ) , n n i j i j p i p q j q p q b A f f A c e c e              , , , , , , 1 , 1 ( , ) n n p i q j p q p i q j p q p q p q c c A e e c c a       formulani hosil qilamiz. Bu tenglikni matritsa shaklida yozish uchun i p p i , , c c   deb delgilash kiritamiz. Natijada, i p, c  lar T C matritsaning elementlaridan iborat bo‘ladi. Demak, , , , , , 1 . n i j i p p q q j p q b c a c     Matritsa shaklida esa, bu tenglik T B C AC  ko‘rinishiga keladi.  Endi biz kvadratik forma ta’rifini keltiramiz. Bizga A x y ( , ) simmetrik bichiziqli forma berilgan bo‘lsin. 25.4-ta’rif. Simmetrik bichiziqli formada y x  deb olganda hosil bo‘ladigan A x x ( , ) funksiyaga kvadratik forma deyiladi. A x y ( , ) simmetrik bichiziqli forma A x x ( , ) kvadratik formaga nisbatan qutbiy bichiziqli forma deyiladi. 25.5-teorema. A x y ( , ) qutbiy forma o‘zining A x x ( , ) kvadratik formasi bilan bir qiymatli aniqlanadi.182 Isbot. Bichiziqli forma ta’rifidan osongina ko‘rish mumkinki, A x y x y A x x A x y A y x A y y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )       . A x y A y x ( , ) ( , )  ekanligidan   1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 A x y A x y x y A x x A y y      tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning o‘ng tomonida faqat kvadratik formaning qiymatlari ishtirok etganligi uchun, A x y ( , ) bichiziqli forma o‘zining kvadratik formasi bilan aniqlanishi kelib chiqadi.  Yuqorida biz ixtiyoriy A x y ( , ) bichiziqli forma x va y vektorlarning koordinatalari orqali , , 1 ( , ) n i j i j i j A x y a      ko‘rinishda yozilishini ko‘rsatgan edik. Demak, A x x ( , ) kvadratik forma ham berilgan bazisda , 1 ( , ) n ik i k i k A x x a      formula bilan ifodalanadi, bunda i k k i , , a a  . 25.5-ta’rif. Agar xar qanday x  0 vektor uchun A x x ( , ) 0  bo‘lsa, A x x ( , ) kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma deyiladi. Misol 25.1. A x x ( , ) kvadratik forma biror bazisda 2 2 2 1 2 ( , ) ... A x x        n ko‘rinishga ega bo‘lsa, bunday kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma bo‘ladi. A x x ( , ) musbat aniqlangan kvadratik forma va A x y ( , ) uning qutbiy bichiziqli formasi bo‘lsin. Yuqorida berilgan ta’riflarga muvofiq quyidagilarga ega bo‘lamiz: 1) A x y A y x ( , ) ( , ); 183 2) 1 2 1 2 A x x y A x y A x y ( , ) ( , ) ( , );    3) A x y A x y ( , ) ( , );    4) A x x ( , ) 0  va A x x x ( , ) 0 0.    Bu shartlar skalyar ko‘paytmaning aksiomalari bilan bir hil ekanligini ko‘rish qiyin emas. Demak, musbat aniqlangan kvadratik formaga mos bo‘lgan bichiziqli forma skalyar ko‘paytma bo‘ladi. Kompleks sonlar maydoni ustida berilgan vektor fazoda bichiziqli forma qiyidagicha aniqlanadi. 25.6-ta’rif. Agar V V to‘plamni maydonga o‘tkazuvchi A V V :   akslantirish aniqlangan bo‘lib, A x y ( , ) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, 1) 1 2 1 2 A x x y A x y A x y ( , ) ( , ) ( , );        2) 1 2 1 2 A x y y A x y A x y ( , ) ( , ) ( , )        , u holda A x y ( , ) funksiya bichiziqli forma deb ataladi