Chiziqli fazo ta`rifi

Chiziqli bog`liqlik va chiziqli erklilik.



1
Chiziqli fazo elementlari uchun chiziqli bogʻliqlik va erklilik tushunchalariga misollar koʻramiz.

11-misol.
boʻladimi?
C[a,b]
fazoda
x  e^t
va ^x2
 3e^t
funksiyalar chiziqli bogʻliq

Yechish. Bu vektorlarning quyidagicha chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz va uni

nolga tenglaymiz: ^{ x}
  x
 0 
 e^t  3 e^t  0 _, 3  
 0 _.

1 1 2 2 1 2
Demak, bu funksiyalar chiziqli bogʻliq.
Xuddi shunga oʻxshab koʻrsatish mumkinki
y  ¹



1 2
C[a,b]
fazoda


y  sin ²t _,

y  cos² t _, ^3
2 funksiyalar ham chiziqli bogʻliq boʻladi. Chunki
y  y
 2 y  0

1
2 1 2 3

8. 
   ta’rif. Agar chiziqli fazo cheksiz sondagi chiziqli erkli vektorlar sistemasiga
   

ega boʻlsa, u holda bunday chiziqli fazoga cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo deyiladi.

Yuqorida koʻrilgan
_1, t, t² ,...,tⁿ_
C[a,b]
fazo cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo boʻladi, chunki
n  N

funksiyalar barcha lar uchun chiziqli erkli boʻladi.

8. 
   ta’rif. ^L chiziqli fаzoning ^V qism toʻplamining oʻzi ham ^L da aniqlangan elementlarni qoʻshish va elementlarni songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qilsa, u holda ^V fazo ^L fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi.
   

12-misol. Barcha ⁿ -tartibli kvadrat matritsalar chiziqli fazosini qaraymiz. Bu
fazo uchun barcha ⁿ -tartibli diagonal matritsalar fazosi chiziqli qism fazo boʻladimi?
Yechish. Ixtiyoriy

^{ a}11
0 ... 0
  ^b₁₁
0 ... 0 _

^ 0 a
... 0
  _{0 b}
... 0 ^

_{D  } 22
 _{D }  ²² 

^{1 } ... ,,, ... ... ^{ 2 } ... ... ... ... ^
 0 0 ... a ^{ } 0 0 ... b ^
 nn   nn 
matritsalarni qaraymiz. Maʻlumki bunda

^{ a}11 ^{ b}11
0 ... 0 _

^ 0 a  b ... 0 ^

D  D  ^
22 22 _

^{1 2 } ... ... ... ... ^
 0 0 ... a  b ^
 nn nn 
yaʻni ikkita diagonal matritsaning yigʻindisi yana diagonal matritsa boʻladi. Endi diagonal matritsaning ^ songa koʻpaytmasini tekshiramiz:


^{ a}11
0 ... 0
_{ } a₁₁
0 ... 0 _

D    ^{ 0
a}22
... 0
 

0
 _ 
a₂₂
... 0 ^


^{1 } ... ,,, ... ... ^{ } ... ... ... ... ^
 0 0 ... a ^{ } 0 0 ... a ^
 nn   nn 
yaʻni diagonal matritsani ^ songa koʻpaytirsak yana diagonal matritsa hosil boʻladi. Bundan tashqari bizga maʻlumki, ^{n } tartibli matritsalar uchun chiziqli fazo uchun oʻrinli boʻlgan yuqoridagi 8 ta aksioma bajariladi. Demak, ⁿ -tartibli diagonal matritsalar toʻplami ^{n } tartibli matritsalar fazosining chiziqli qism fazosini tashkil

qiladi. Endi biz oldingi mavzuda ^Rn
arifmetik fazo uchun kiritilgan ckalyar

koʻpaytma tushunchasini chiziqli fazo uchun umumlashtiramiz.

10. 
    ta’rif. ^L chiziqli fazoning har bir ^x va ^y vektorlar juftligiga biror qoida
    

bilan haqiqiy son ^{ x, y}
_{1) } x, y_  _ y, x_{ ;}
mos qoʻyilgan boʻlib, bu moslik uchun quyidagi shartlar:

₂₎  ^{x  y, z} ^  ^{x, z} ^  ^{y, z}  _;
3) ^{x, y} ^{ }  ^{x, y} _.

4) ^{ x, x  0} , ixtiyoriy ^{x  L}
bajarilsa, u holda ^{ x, y}
deyiladi.
_uchun  ^{x, x} ^{ 0  x  } _;
son ^x va ^y vektorlarning skalyar koʻpaytmasi

10. 
    ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skаlyar koʻpаytmа aniqlangan
    

boʻlsa, bu fazo Yevklid fаzosi dеyilаdi va
^En koʻrinishda belgilanadi.

Har qanday ⁿ oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skаlyar koʻpаytmаni aniqlash orqali uni Yevklid fаzosigа aylantirish mumkin.

10. 
    
    ta’rif. Yevklid fаzosidаn olingan ^x vеktor uchun quyidagicha
    

aniqlangan songa ^x vektorning normаsi (uzunligi) dеb аytilаdi: Vеktorning uzunligi uchun quyidаgi хossаlаr oʻrinlidir:

1. 
   barcha
   

^{x  L} elementlar uchun.



2.
_3. (x, y) 
4.
, bundа ^{  R} ;
^{x  y} (Koshi-Bunyakovskiy tеngsizligi); (uchburchаk tеngsizligi).

10. 
    ta’rif. Agar
    

x, y  Eⁿ
elementlar uchun ^{(x, y)  0}
boʻlsa u holda ^{x va y}

elementlar ortogonal vektorlar deyiladi.

10. 
    ta’rif. Noldan farqli
    

a ,a ,..., a
 Eⁿ
elementlardan tashkil topgan vektorlar

1 2

n
sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi.
_a ,a ,...,a _ Eⁿ

10. 
    ta’rif. Agar ^{1 2 n} ortogonal vektorlar sistemasi boʻlib
    

a_i 1 _i 1,2,...,n_{
boʻlsa, u holda }^a1^,a2 ^,a3^,...,an_

vektorlar sistemasi ortonormal

vektorlar sistemasi deyiladi.
_e ,e ,e ,...,e _ Eⁿ _n

10. 
    ta’rif. Agar
    

1 2 3 n
vektorlar sistemasi
^E fazoning bazisi

boʻlib, ortonormal vektorlar sistemasini tashkil qilsa, u holda bu bazisga ortonormal bazis deyiladi.
_e ,e ,e ,...,e _ Eⁿ

Ortonormallangan oʻrinli:
1 2 3 n
bazis uchun quyidagi munosabat

_^ei ^,ek _{
 }1, agar i  k bo 'lsa


_0, agar i  k bo 'lsa


_a ,a ,...,a _ Eⁿ

2. 
   teorema. (Pifagor teoremasining umumlashmasi) Agar ^{1 2 n}
   

vektorlar sistemasi juft-jufti bilan ortogonal boʻlsa, u holda quyidagi munosabat oʻrinli

_a ,a ,...,a _ Eⁿ

2. 
   teorema. Agar ^{1 2 n} vektorlar noldan farqli va juft-jufti bilan
   

orthogonal boʻlsa u holda bu vektorlar chiziqli erkli boʻladi.
Isbot. Bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzib uni nolga tenglaymiz
^1a1 ^{ 2 a}2 ^{...  n a}n ^{ 0}

Bu tenglikning ikkala tomonini
^a1 ga skalyar koʻpaytiramiz:

^1(a1^,a1^{)  2(a}2 ^{, a}1^{) ...  n(a}n ^{, a}1^{)  0}

Teorema shartiga koʻra

(a₁,a₁)  0, (a₁, a_i )  0_i  2,3,..., n_
2

boʻlgani uchun

oxirgi tenglikdan
^₁^(a1^,a1^{)  }₁ ^a1
 0,
ga ega boʻlamiz. Bundan
₁  0
ekani kelib

chiqadi. Xuddi shunga oʻxshab
₂  ₃  ...  _n  0
ekanligi isbotlanadi. Demak

^{a1, a2 ,...,ak  E}n chiziqli erkli vektorlar sistemasini tashkil qiladi. Teorema isbotlandi.

2. 
   teorema. Har qanday ⁿ oʻlchovli haqiqiy Yevklid fazosida ortonormallangan bazis mavjud.
   

Isbot. Faraz qilaylik
_^e1^,e2 ^,e3^,...,en_^{ En}

vektorlar sistemasi

^En fazoning

ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz:

1. 
   ^{e  e1}, deb olib keyingi qadamda
   

^{t 1} _^ei ^{ e}t _

2. 
   
   
   ^et ^{ e}t ^ _
   

i 1
^ei ^{ e}i _
^ei ^,


t  2, 3, ..., k

Teorema isbotlandi.

13-misol.
^R3 fazoda berilgan
a ₁(1, 1, 1) _,
a₂ (0, 1, 1) _,
a₃ (0, 0, 1)
vektorlar

sistemasidan ortonormallangan bazis quring.

Yechish. Birinchi navbatda sistemasining rangini aniqlab olamiz
a ₁(1, 1, 1) _,


1 1 1
0 1 1  1
0 0 1
a₂ (0, 1, 1) _,
a₃ (0, 0, 1)
vektorlar

rang( a₁,
a₂ ,
a₃ )  3
boʻlganligi sababli bu sistemadagi vektorlar chiziqli erkli.

Sistemani ortogonal sistemaga aylantirish uchun Shmidt formulasidan foydalanamiz:
1) b₁  a₁ (1, 1, 1) _;

_b₁ , a_{2 }
2 _ 2 1 1 _

2) b₂  a₂ 
^{b1 } ^{0, 1, 1} ^ ₃ ^{1, 1, 1} ^ _ ^{ , ,} _

_b₁ , b_{1 
} 3 3 3 _
;

_b₁ , a_{3 
}b₂ a_{3 }