Chiziqli dasturlash masalalarining matematik modellari, iqtisodiy tahlili. Maqsad funksiyasi

Chiziqli dasturlash masalalarining matematik modellari, iqtisodiy tahlili. Maqsad funksiyasi.

4-ma’ruza

Chiziqli dasturlash masalalarining matematik modellari, iqtisodiy tahlili. Maqsad funksiyasi. Egizak masala.

Chiziqli dasturlash masalalarining matematik modellari, iqtisodiy tahlili. Maqsad funksiyasi. Egizak masala.

Reja

• 
  Chiziqli dasturlash masalasining qo’yilishi.
  
• 
  Maqsad funksiyasini tuzish
  

Faraz qilaylik, korxonada m xil mahsulot ishlab chiqarilsin: ulardan ixtiyoriy birini i(i=1,..., m) bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun n xil ishlab chiqarish faktorlari zarur bo’lsin. Ulardan ixtiyoriy birini j (j=1,..., n) bilan belgilaymiz.

• 
  Faraz qilaylik, korxonada m xil mahsulot ishlab chiqarilsin: ulardan ixtiyoriy birini i(i=1,..., m) bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun n xil ishlab chiqarish faktorlari zarur bo’lsin. Ulardan ixtiyoriy birini j (j=1,..., n) bilan belgilaymiz.
  
• 
  Har bir ishlab chiqarish faktorining zahirasi va ularning bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan me’yori quyidagi jadvalda berilgan:
  

Jadvaldagi har bir bj - j - ishlab chiqarish faktorining zahirasini; aij - i - mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan j - faktorning me’yori; si - korxonaning i - mahsulot birligini realizatsiya qilishdan oladigan daromadini bildiradi.

• 
  Jadvaldagi har bir bj - j - ishlab chiqarish faktorining zahirasini; aij - i - mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan j - faktorning me’yori; si - korxonaning i - mahsulot birligini realizatsiya qilishdan oladigan daromadini bildiradi.
  
• 
  Masalaning iqtisodiy ma’nosi: korxonaning ishlab chiqarish rejasini shunday tuzish kerakki: a) hamma mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan har bir ishlab chiqarish faktorining miqdori ularning zahirasidan oshmasin; b) mahsulotlarni realizatsiya qilishidan korxonananing oladigan daromadi maksimal bo’lsin.
  

Rejalashtirilgan davr ichida ishlab chiqariladigan i- mahsulotining miqdorini xi - bilan belgilaymiz. U holda masaladagi a) shart quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi:

Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko’ra hamma noma’lumlar manfiy bo’lmasligi kerak, ya’ni:

xi ³ 0 (i=1, 2, ..., m) .

Masaladagi b) shart uning maqsadini aniqlaydi. Demak masalaning maqsadi mahsulotlarni realizatsiya qilishdan korxonaning oladigan umumiy daromadini maksimallashtirishdan iborat va uni

• 
  Masaladagi b) shart uning maqsadini aniqlaydi. Demak masalaning maqsadi mahsulotlarni realizatsiya qilishdan korxonaning oladigan umumiy daromadini maksimallashtirishdan iborat va uni
  
• 
  
• 
  Y = c1x1 + c2x2 + ... + cmxm -> max,
  
• 
  ko’rinishdi ifodalash mumkin.
  

Chiziqli dasturlash masalasi

• 
  Fabrika ikki xil M1 va M2 tikuv mahsuloti ishlab chiqaradi. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarishda uch xil N1,N2,N3 turdagi materiallarni ishlatadi. N1-materialdan 15 m., N2-materialdan 16 m., N3-materialdan 18 m. mavjud. M1- mahsulotni ishlab chiqarish uchun N1-dan 2m., N2-dan 1m., N3-dan 3m. ishlatadi. M2- mahsulotni ishlab chiqarish uchun N1-dan 3m., N2-dan 4m., N3-dan 0m. ishlatadi. M1- mahsulotning bir birligidan keladigan foyda 10 so‘mni, M2 - mahsulotdan keladigan foyda 5 so‘mni tashkil qiladi. Ishlab chiqarishning shunday planini tuzish kerakki fabrika maksimal foyda olsin. Masalaning matematik modelini tuzamiz:
  

Bu yerda M1 mahsulotni x1 va M2 mahsulotni x2 o’zgaruvchi bilan almashtirib olamiz.

• 
  Bu yerda M1 mahsulotni x1 va M2 mahsulotni x2 o’zgaruvchi bilan almashtirib olamiz.
  
• 
  Bu yerda Z=10x1+5x2 -> max maqsad funksiyasi bo’lib, x1 va x2 larning shatrlarni bajarilgan qiymatlarida Z ning maksimumga erishishini ta’minlash masalasi qaraladi.
  

Misol .

• 
  Misol .
  
• 
  Z = 2x + 3y maqsad funksiyasining maksimum qiymatini toping.
  
• 
  Chegaraviy shartlar quyidagicha berilgan:
  
• 
  x + y 30, y 3, 0 y 12, x - y 0, va 0 x 20.
  
• 
  
• 
  Yechish
  
• 
  Birinchi navbatda koordinatalar sistemasida x0, y 0 ekanligini belgilab olamiz.
  
• 
  Koordinatalar sistemasida x + y 30, y 3, y 12, x y va x 20, chegaralarni belgilab, ABCDE shaklni aniqlaymiz.
  
• 
  Shakl uchlaridagi nuqtalar A(3, 3), B (20, 3), C(20, 10), D(18, 12) va E(12, 12) bo’ladi.
  
• 
  Shakl uchlaridagi Z ning qiymatlari Z(A) = 15, Z(B) = 49, Z(C)= 70, Z(D)=72, va Z(E) = 60
  
• 
  D nuqtada Z maksimum qiymatga erishadi. Z(D)=72. Bu nuqtada x va y ning qiymatlari x = 18, y = 12 ga teng.
  

•