Chiziqli avtomatik rostlash sistemalar

Tizimning differensial tenglamasi
Yuqorida aytib о‗tilgandek, tizimning dinamik xossalarini tahlil qilish va baholash uchun, oldin tizimning alohida elementlari differensial tenglamasi tuziladi, sо‗ngra bu tenglamalarni birgalikda yechib, tizimning differensial tenglamasi olinadi. Chiziqli element yoki tizimning nobarqaror holatda kirish va chiqish qiymatlari о‗rtasidagi bog‗liqlikni aniqlovchi differensial tenglamasi, umumiy holda qо‗yidagicha kо‗rinishga ega
dⁿXЧ (t) d^n1XЧ (t) dXЧ (t)
an dt^mnXК (t)an1 ddtn1 К  a1 dt К  a0XЧ (t)  (13.1) d m 1X (t) dX (t)
 b_m dt_m b_m1 dtm_1 b₁ dt b₀X_К (t) ,
bu yerda: a_n, a_n-1 ,..., a₀; b_m, b_m-1, ..., b₀ - о‗zgarmas koeffitsentlar; n, m-xosilalar yuqori tartibi; X_CH(t), X_K(t) - mos ravishda chiqish va kirish qiymatlari.
Tenglama (1.1) operator (simvolik) kо‗rinishda qо‗yidagicha yoziladi
anpnХЧ(p)  an1pn1ХЧ(p)  a1pХЧ(p)  a0ХЧ(p) 
 bmpmXК(p)  bm1pm1XК(p)  b1pXК(p)  b0XК(p) ,
yoki
(an pn  an1pn1  a1p  a0)XЧ (p)  m bm1pm1  b1p  b0)XК (p) . (13.2)
 (bm p 
Bu yerda р  ^d differensiallash simvoli (operatori). dt
Qо‗yidagi belgilarni qabul qilamiz:
M(p) a_npⁿ  a_n1p^n1  a₁p  a₀; (13.3)
Q(p)  b_mp^m  b_m1p^m1  b₁p  b₀. (13.4) (1.3) va (1.4) - simvolik ifodalar mos ravishda tizimning yoki elementning chiqish va kirish operatorlari deb ataladi.
Endi (13.2) - tenglamani qо‗yidagi kо‗rinishda yozish mumkin M(p) X_CH(r) = Q(p) X_K(r) .
Uzatish funksiyasi. Avtomatik rostlash tizimi yoki elementlarning dinamik xossalarini baholashda differensial tenglamalar bilan bir qatorda, asosida Laplas almashtirishi yotgan uzatish funksiyalari ham keng qо‗llaniladi. Laplas almashtirishi deb, vaqt funksiyasi X(t) ni kompleks о‗zgaruvchan funksiyasi X(r) ga integral

X(р)  X(t) e^pt dt
0 yordamida almashtirilishiga aytiladi.
X(r) funksiyasini vaqt funksiyasi X(t) ning tasviri, X(t) funksiyasini esa X(p) funksiyasining asli deb ataladi. Funksiyaning aslidan uning tasviriga о‗tishni tо‗g‗ridan-tо‗g‗ri Laplas almashtirishi deb ataladi va qisqacha qо‗yidagi kо‗rinishda yoziladi:
L[X(t)]=X(r) va aksincha, tasvir X(r) dan asliga о‗tish, teskari Laplas almashtirishi deb ataladi va qо‗yidagi kо‗rinishda yoziladi: L^-1[X(r)]=X(t) .
Bu yerda L, L^-1 - mos ravishda Laplas almashtirish simvollari. Laplas almashtirishini simvolik usulda yozilgan differensial tenglama (13.2) -ga qо‗llab va tizim (element) ta‘sir qо‗yilgunga qadar tinch holatda bо‗lgan deb faraz qilib, qо‗yidagi kо‗rinishdagi algebraik tenglamani olamiz
(an pn an1pn1 a1pa0)XЧ (p) 
 m bm1pm1 b1pb0)XК (p) . (13.5) (bm p 
(1.5) tenglamada (1.2) dan farqli о‗raloq barcha vaqt funksiyalari, ularning tasvirlari bilan almashtirilgan va operator r=+j bо‗lib, (13.2) tenglamadagi singari differensiallash simvoli p=d/dt emas, balki kompleks qiymatlardir. Bu yerda  va  - haqiqiy о‗zgaruvchanlardir.
Tenglama (1.5) da tizim yoki elementning chiqish qiymati tasvirini, uning kirish qiymati tasviriga nisbatini olib, W(p) funksiyasini topamiz:
m m1
Xч (p) bmp n  bm1pn11  b1p  b0 Q(p) .
W(p)    Xk (p) anp  an1p  a1p  a0 M(p)
Boshlang‗ich nol sharoitlardagi chiqish qiymati tasviri X_CH(p) ni kirish qiymati tasviri X_K(p) ga bо‗lgan nisbati, element yoki tizimning uzatish funksiyasi deb ataladi va W(p) bilan belgilanadi. Element yoki tizimning о‗tish jarayonlari differensial tenglamasi ma‘lum bо‗lsa, ularning uzatish funksiyalarini о‗ng‗aygina aniqlash mumkin.