Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari

Keywords: Gaussian method of solving systems of linear equations, GaussianJordan modification of systems of linear equations, basic solutions of systems of linear equations.
1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli.
Ushbu ⁿ noma’lumli ⁿ ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
 a x a x11 1 + 12 2 +....+a x b1n n = 1,
a x a x21 1 + 22 2 +....+a x b2n n = 2,

 ... ... ... ... ... ...
a x a xn1 1 + n2 2 +....+a x bnn n = n. (1)
tenglamalar sistemada quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

a11 a21 A=

a12 a22

... ...

a1n   x1  b1 a2n = x2 , B=  b2 , X  

 ... ... ... ...           
a_n1 a_n2 ... a_nn   x_n  b_n .
Bu yerda, A −noma’lumlar oldida turgan koeffitsiyentlardan tuzilgan matritsa;
X −noma’lumlardan tuzilgan matritsa; B −ozod hadlardan tuzilgan matritsa. U holda (1) tenglamalar sistemasini
AX B= (2)
koʻrinishda ifodalash mumkin.

Faraz qilamiz, ^{det A  0} boʻlsin. U holda A matritsa uchun A⁻¹ teskari matritsa mavjud. AX = B tenglikning har ikkala tomonini A⁻¹ ga chapdan koʻpaytiramiz:
A AX A B−1 = −1 , EX A B= −1 , X = A B−1 .
Hosil boʻlgan X A B= ⁻¹ ifoda chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yechish formulasidan iborat.
1-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching:
2x₁ + 2x₂ −3x₃ = 5,

 x x₁ − ₂ + x₃ = 0,  3x x1 + 2 + x3 = 2.
Yechish. ^{A X B, ,} matritsalarni tuzib olamiz:

 2  A= 1  3 

2 3−   −1 1  1 1  ,

  X =  

x1   5     x2  B= 0  x3 ,  2 .

Bundan, ^{det A =−12  0.} Teskari matritsani topamiz:
−1 11 11 −1

1. 
   1=−2 , A12 =− 3 1 = 2, A13 =3 1 = 4,
   
2. 
   −32 −3 2 2
   

1=−5, A22 = 3 1 =11, A23 =− 3 1 = 4,
2 −32 −32 2

A₃₁ ==−1, A₃₂ =−=−5, A₃₃ ==−4,

Bundan:	 −2 −5 −1 1 A^−^1= − ^2 11 −5^ 12 4 4 −4. 
 −2 1 X A B= ^−^1= − ^2 12 4 	−5 −1  5  −10+ 0− 2  −12  11 −5   0 = −  10+ 0−10 = − 1  0  =  1    12  12  	1 0 
	4 −4    2  20+ 0−8   12  −1

−1 1 1 1 1 −1
Demak, x1 =1, x2 = 0, x 3=−1 yoki X =(1;0;−1)t .
Agar sistema matritsasining rangi tenglama noma’lumlari sonidan kichik bo’lsa ham uning yechimini teskari matritsa usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.
2-misol. Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yeching:
x₁ − 2x₂ +3x₃ −5x₄ = 2,
^2x x₁ + ₂ + 4x x₃ + ₄ =−3,

3x1 −3x₂ +8x₃ − 2x₄ =−1,
2x₁ − 2x₂ +5x₃ −12x₄ = ⁴

1 −2 ^2 1 A= 3 −3  2 −2 larning rangini topib

3 4 8 5

−5  1 1  =2 , (AB) 3 −2  −12 2

−2 1 −3 −2

3 4 8 5

−5 2  1 −3 − −2 1  −12 4 

Yechish. Tenglamalar sistemasi matritsasi A va kengaytirilgan matritsasi ^(AB)
1 −2 3 −5 2  1 −2 3 −5 2 
 
2 1 4 1 −30 5 −2 11 −7
3 −3 8 − −21 0 3 −1 13 −7
2 −2 5 −12 4  0 2 −1 −2 0 

1 −2 3 −5 2  1 −2 3 −5 2 

  _ −2 11 −7 _0 5 −2 11 −7 _ 0 5
0 0 1 32 −14 0 0 1 32 −14
0 0 −1 −32 14  0 0 0 0 0 

^{r A( )=r AB()=3} ekanligini koʻramiz. Uning minori
1 −2 3
 =2 1 4=8−18− 24−9+32+12 =1
3 −3 8
noldan farqli. Shuning uchun toʻrtinchi tenglamani tashlab yuboramiz, qolgan tenglamalarda ^x4 qatnashgan hadlarni oʻng tomonga oʻtkazamiz.
x₁ − 2x₂ +3x₃ = 2+5x₄,

2x x₁ + ₂ + 4x₃ = − −3 x₄, ^3x₁ −3x₂ +8x₃ = − +1 2x₄^.

1  2  3 	−2 1 −3	3 1 0 4 0 1 8 0 0	0 1 00 1 0	−2 5 3	3 1 0 0 1 − −2 2 1 0^^0 − −1 3 0 1 0	7 −1 −3	0 −8 0 4 1 3	0 1 0	3  −2^ −1
		1  0 0 	0 20 0 −4 0 1 −9	7 −1 −3	−11 20 2 , A−1 = − 4 5  −9	7 −1 −3	−11 2   5 .

Bu sistemani teskari matritsa usuli bilan yechamiz. Avval asosiy matritsa teskarisini Gauss - Jordan usulida topamiz:
Tenglamalar sistemasining umumiy yechimni topish uchun X A B= ⁻¹ amalni bajaramiz:
20 7 −11  2+5x₄   10+ 71x₄ 
X = −^ 4 −1 2 ^{ } − −3 x₄ ^ = ^ − −7 15x₄ ^
 
−9 −3 5   − +1 2x4  −14−32x4 
_Javob: X =(30+71x₄; −7−15x₄; −14−32x x₄; ₄^)t , x R₄ 
^x4 ga ixtiyoriy qiymatlar berib ^{x x x}1^, 2^, 3 noma’lumlarning mos qiymatlarini
topamiz. Sistema cheksiz koʻp yechimga ega. 3-misol. Quyidagi tenglamani yeching:
0 1 1 3 4 0
2 1 _{ }X 3 6 _{ }= 5 8_
Yechish. Tenglamaga quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
0 1 1 3 4 0
A =2 1_, B =_3 6_, C1 =_5 8__.

U holda berilgan tenglama
A X B C  =
koʻrinishni oladi.
Agar AXB ifodaning chap tomondan A⁻¹ va oʻng tomondan B⁻¹ ga koʻpaytirsak, hamda ^{A A E−1 = , EX X= ,} BB⁻¹ = E va XE = X ekanligini hisobga olsak quyidagi yechimga ega boʻlamiz:
X A CB= −1 −1 = − 1 12 0−1 4 0   5 8__−12 1₋1_ =
2_{−  }  3


= −1−8 01 8−  _−12 1−13_{ = }−38 4−56_.
_
2−

Mashqni bajaring. Quyidagi tenglamalarni yeching:
0 1 1 3 4 0 0 1 2 1) 3 1  X 3 2  = 2 8, 2) 5 1  X 3 2 1 1 3 4 0	3 4 2  ^=2	0 5,


3) 3 1  X 2 5  = 2 1.

Agar sistemada m n va r A( )  m boʻlib, r A( ) = r AB() boʻlgan holda ham teskari matritsa usulidan foydalanib uning yechimini topsa boʻladi.
2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
ⁿ noma’lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
 a x a x11 1 + 12 2 +....+a x b1n n = 1,
a x a x21 1 + 22 2 +....+a x b2n n = 2,

 ... ... ... ... ... ...
a x a xn1 1 + n2 2 +....+a x bnn n = n. (1)
n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish
ikki bosqichda (dastlab chapdan oʻngga, soʻngra oʻngdan chapga qarab) amalga oshiriladi.
1-bosqich. (1) sistemani uchburchak koʻrinishga keltirishdan iborat.
Buning uchun, ^a11 ^0, deb (agar ^a11 ⁼⁰ boʻlsa, 1- tenglamani ^ai1 ^0 boʻlgan ⁱ tenglama bilan oʻrin almashtiriladi) birinchi tenglamaning chap va oʻng tomoni a¹¹

ai1
−
ga boʻlinadi. Soʻngra, 1 tenglama a¹¹ ga koʻpaytirilib, ⁱ -tenglamaga qoʻshiladi.
Bunda, sistemaning 2-tenglamasidan boshlab ^x1 noma’lum yoʻqotiladi. Bu jarayonni n−1 marotaba takrorlab quyidagi uchburchaksimon sistema hosil qilinadi:
 x a x a x1 + 12 2 + 13 3 + +... a x b1n n = 1,
 x a x2 + 23 3 + +... a x b2n n = 2,

 ...................................................
 a x bnn n = n.
2-bosqich. Oxirgi sistemani yechishdan iborat. Bunda, dastlab sistemaning oxirgi tenglamasidan ^xn topilib, undan oldingi tenglamaga qoʻyiladi va undan ^xn−1 topiladi. Shu jarayon davom ettirilib, nihoyat 1-tenglamadan ^x1 topiladi.
Sistema Gauss usuli bilan yechilganda uchburchaksimon shaklga kelsa u yagona yechimga ega boʻladi. Agar sistema pog’onasimon shaklga kelsa u cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi yoki yechimga ega boʻlmaydi.
Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotish usuli, deb ham ataladi. Bu jarayonni kattaroq teglamalar sistemasiga qoʻllash mumkin, chunki bu juda samarali. Quyidagi misolni koʻrib chiqamiz:
5-misol. Tenglamalar sistemasining barcha mumkin boʻlgan yechimlarini toping.
 2x₂ − x₃ = −7,

 x x₁ + ₂ + 3x₃ = 2,
−3x1 + 2x2 + 2x3 = −10.
Yechish. Dastlab ikkinchi va uchinchi tenglamadagi ^x1 noma’lumni yoʻq qilinadi va keyin ^x2 noma’lumni uchinchi tenglamadan yoʻqotamiz. Keyin faqat ^x3 noma’lum qoladi. Lekin biz dastlabki 2 ta tenglamaning oʻrnini almashtirishdan boshlaymiz:
 x x₁ + ₂ + 3x₃ = 2,

 2x₂ − x₃ = −7,
−3x1 + 2x2 + 2x3 = −10
2-tenglamada ^x1 yoʻq. Keyingi qadamda 1-tenglamani ishlatib 3-tenglamadagi ^x1 noma’lumni yoʻqotamiz. Bu jarayon 1-tenglamani 3 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshish orqali bajariladi.
x x₁ + ₂ +3x₃ = 2,

 2x₂ − x₃ = −7,
5x2 +11x3 = −4.
Keyingi bosqichda 2-tenglamani ga koʻpaytirib, ^x2 ning koeffitsiyentini 1 ga aylantiramiz.
x₁ + x₂ +3x₃ = 2,
^ 1 7
 x₂ − x₃ =− ,
 2 2
5x2 +11x3 =−4.
Oxirgi tenglamalar sistemasidagi 2-tenglamani -5 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshamiz. x2 ni yoʻqotamiz.

x x₁ + ₂ +3x₃ = 2,
^ 1 7
 x₂ − x₃ =− ,
 2 2
 27 27
 2 x3 = 2 .
Soʻng, oxirgi tenglamani ga koʻpaytirib ^x3 ⁼¹ qiymatni topamiz. Bu qiymatni ikkinchi tenglamaga qо’yib, ^x2 ⁼⁻³qiymatni hosil qilamiz. ^x3 ⁼¹ va ^x2 ⁼⁻³qiymatlarni birinchi tenglamaga qо’yib ^x1 ⁼²qiymatni olamiz. Shunday
qilib, sistema yagona ^{(2; 3;− 1)} yechimga ega.
6-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
2x x₁ − ₂ − 4x₃ = −1,

3x₁ − 2x₂ + x₃ = −9,
 x1 + 4x2 − 2x3 = 4.
Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotib yechimni topamiz:
2x x₁ − ₂ − 4x₃ = −1,  x₁ + 4x₂ − 2x₃ = 4, x₁ + 4x₂ − 2x₃ = 4,
  
3x₁ − 2x₂ + x₃ = −9, 2x x₁ − ₂ − 4x₃ = −1,  9x₂ = 9,
^ x₁ + 4x₂ − 2x₃ = 4 ^_3x₁ − 2x₂ + x₃ = −9 ^_ 14x₂ −7x₃ = 21.  x₁ + 4x₂ − 2x₃ = 4,

  x₃ − 2x₂ = −3,
 x2 =1.
^x2 ⁼¹ qiymatni ikkinchi tenglamaga qо’yib, ^x3 ⁼⁻¹qiymatni hosil qilamiz.
^x2 ⁼¹ va ^x3 ⁼⁻¹qiymatlarni birinchi tenglamaga qо’yib ^x1 ⁼⁻²qiymatni olamiz.
Shunday qilib, sistema yagona ^{(−2;1;−1)} yechimga ega.
Tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenlamalar sonidan ko’p bo’lsa ham, ya’ni sistema birgalikda bo’lib aniq bo’lmasa ham uning yechimini Gauss usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.
7-misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
x x₁ − ₂ + 2x x₃ − ₄ = 4,
^x x₁ + ₂ +x x₃ + ₄ =10,

_7x1 + 2x₂ +8x₃ −6x₄ = 44,
5x1 + 2x2 +5x3 −6x4 = 30.
Yechish. Birinchi qadamda sistemadagi birinchi tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib, qolganlaridan ketma-ket ^x1 noma’lumni yoʻqotamiz, ikkinchi qadamda ikkinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan ^x2 noma’lumni yoʻqotamiz, uchinchi qadamda uchinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan ^x3 noma’lumni yoʻqotamiz. Soddalik uchun tenglamalar sistemasi oʻrniga kengaytirilgan matritsa ustida ish olib boramiz:
1 −1 2 −1 4  1 −1 2 −1 4  1 −1 2 −1 4 
  
1 1 1 1 100 2 −1 2 6 0 2 −1 2 6  7 2 8 −6 44 0 9 −6 1 16 0 0 3 16 22
5 2 5 −6 30 0 7 −5 1 10 0 0 3 16 22
Hosil boʻlgan sistemada ikkita bir hil tenglamadan bittasini qoldirib, ikkinchisini tashlab yuboramiz. Shu yerda chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning chapdan oʻngga qarab bosqichi tugadi. Tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik. Endi ^x4 erkli oʻzgaruvchini oʻng tomonga oʻtkazamiz. Soʻngra oʻngdan chapga qarab harakat yordamida sistemaning barcha yechimlari topiladi.
x x₁ − ₂ + 2x x₃ − ₄ = 4,  x₁ =8x₄ −34 / 3
 
 2x x₂ − ₃ + 2x₄ = 6,   x₂ = −(11x₄ + 2) / 3 
^ 3 x₃ +16x₄ = 22 ^_x₃ = −(16x₄ − 22) / 3

8x4 − 34;−11x₄ + 2;−16x₄ − 22;x 
_{
Javob: } 3 3 3 4_, x4R.
Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss - Jordan usuli
Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss - Jordan usulining (Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi) mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal

koʻrinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan (AB) matritsasi quriladi. Yuqorida keltirilgan sistemaning teng kuchliligini saqlovchi elementar almashtirishlar yordamida, kengaytirilgan matritsaning chap qismida birlik matritsa hosil qilinadi.
Bunda birlik matritsadan oʻngda yechimlar ustuni hosil boʻladi. Gauss - Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:

(A B) ~ (E X^)_.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotishning Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurishning Jordan taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki oʻng ustunda bir yoʻla teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga koʻpaytmasi-yechimlar ustuni quriladi.
8-misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching:
x x₁ + ₂ + 2x₃ +3x₄ =1,
^3x x₁ − ₂ −x₃ − 2x₄ =−4,

_2x1 +3x₂ −x x₃ − ₄ =−6,
x1 + 2x2 +3x x3 − 4 =−4.
Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasi koeffitsiyentlaridan kengaytirilgan matritsa tuzamiz. Tenglamalar ustida bajariladigan almashtirishlar yordamida asosiy matritsani quyidagicha birlik matritsaga keltirib javobni topamiz:
1 1 2 31  1 1 2 31  1 1 2 3 1 
  
_3 −1 −1 − −24_0 −4 −7 −11 7− _0 1 1 − −4 5_
2 3 −1 − −1 6 0 1 −5 − −7 8 0 −1 5 7 8 
1 2 3 − −1 4 0 1 1 − −4 5 0 4 7 11 7 
1 0 1 76  1 0 1 7 6  1 0 0 −2 −3 

   _ − −4 5_0 1 1 − −45_0 1 0 −13 −14_
0 1 1
0 0 6 33  0 0 1 9 9  0 0 1 99 
0 0 3 27 27 0 0 2 1 1  0 0 0 −17 −17
1 0 0 −2−3  1 0 0 0−1
 
_0 1 0 −13−14_0 1 0 0−1_
0 0 1 99  0 0 1 0 0 
0 0 0 11  0 0 0 1 1 
