Chiziqli algebra

Chiziqli algebra

• Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Gauss usuli
• Matritsa rangi
• Chiziqli tenglamalar sistemasini tadqiq etish
• Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Gauss usuli

• (m x n) o'lchovli chiziqli tenglamalar tizimini yechish masalasini ko'rib chiqamiz. Tizimni matritsa shaklida yozaylik:

• Kengaytirilgan sistema matritsasi

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Gauss usuli

• Sistemaning kengaytirilgan matritsasidagi quyidagi amallar elementar keltirish deb nomlanadi.

• Qatorlarning elementlarini bir xil nolga teng bo'lmagan sonlarga ko'paytirish yoki bo’lish

• Ikki qatorni o’rnini almashtirish

• Satr elementlariga boshqa satr elementlari qo'shish

• Elementar keltirishlarning asosiy maqsadi asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan yuqori uchburchak matritsani olishdir.

Matritsa rangi

• O'lchamlari (m x n) bo'lgan matritsani ko'rib chiqamiz.

• Ushbu matritsada ixtiyoriy k satrlar va k ustunlarni tanlaymiz. Tanlangan qatorlar va ustunlar kesishmasida turgan A matritsasining elementlari k-chi tartibning aniqlovchisini hosil qiladi.

• A matritsaning k-chi tartibining Minori A dan ixtiyoriy k satrlar va k ustunlarni tanlash orqali olingan aniqlovchi hisoblanadi.

Matritsa rangi

• Matritsaning rangi - bu matritsaning nolga teng bo'lmagan eng katta minori.

• А matritsa 3-tartibdagi 4 minorga ega, masalan:

• 18 minor 2 –chi tartibdagi, masalan:

• 12 minor 1 – chi tartibdagi – elementlarning o’zlari.

• Ushbu matritsaning nolga teng bo'lmagan minorining eng katta tartibi 3 ga teng, shuning uchun:

Matritsa rangi

• Tartibi matritsaning rangiga teng bo'lgan determinant asosiy deyiladi. U yagona bo'lmasligi mumkin.

• Matritsaning rangi uchburchaklar shaklida qisqartirilgan matritsaning nol bo'lmagan qatorlari soniga teng

Chiziqli tenglamalar sistemasini tadqiq etish

• Kroneker - Kapelli teoremasi.

• Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi izchil bo'lishi uchun (echimga ega bo'lish uchun) tizimning kengaytirilgan matritsasi rangi koeffitsient matritsasi rangiga teng bo'lishi zarur va etarli:

• Agar (noma’lumlar soni) bo’lsa, tizim izchil va aniqdir (yagona echim bor).

• Agar bo’lsa, tizim izchil va noaniq (cheksiz ko'p echimlarga ega).

• Agar bo’lsa, tizim izchil emas (echimlar yo'q).

• Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda asosiy va kengaytirilgan matritsalar rangini oldindan hisoblash shart emas. Gauss usuli bajarilganda ular avtomatik ravishda aniqlanadi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini tadqiq etish

Chiziqli tenglamalar sistemasini tadqiq etish

• Sistema qo’shma

• - no’malumlar soni

• sistema aniqlanmagan

• - erkin o'zgaruvchilar soni

• Agar

• Sistemani quyidagicha yozamiz:

Chiziqli tenglamalar sistemasini tadqiq etish

• Sistema mos emas

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Agar barcha erkin elementlari nolga teng bo'lsa, chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli deyiladi.

• Bir jinsli sistema doimo yechimga ega:

• Ushbu yechim trivial deb nomlanadi. Bu faqat ushbu holatda tizim uchun yagona yechimdir

• Agar bo’lsa, tizim cheksiz ko’p yechimlarga ega.

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Fundamental sistemaning yechimini toping:

• - erkin o'zgaruvchilar soni

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Belgilaymiz:

• (erkin o'zgaruvchilar sifatida odatda asosiy diagonal bo'yicha 0 ga ega bo'lganlarni oladilar)

• Umumiy yechim

• Fundamental sistemaning yechimi