Chiziqli algebra kursida o’rganilgan chekli o’lchovli fazolar poydevor qilib olinib, cheksiz o’lchovli abstract funksional fazolar qaraladi va o’rganiladi. Asosiy funksional fazolar xossalarini o’rganish

Banax fazosida kompakt operatorlar. Chekli o‘lchamli fazolarda aniqlangan chiziqli operatorlardan farqli o‘laroq, cheksiz o‘lchamli fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spektrini to‘la o‘rganish ancha qiyin masaladir. Lekin kompakt operatorlarning spektrini to‘laroq o‘rganish mumkin. Kompakt operatorlar xossalariga ko‘ra chekli o‘lchamli operatorlarga o‘xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq tavsiflanadi. Bundan tashqari, kompakt operatorlar ko‘plab tatbiqlarga ega, masalan integral tenglamalar nazariyasida.
Ta’rif. Agar va bo‘lsa, u holda ga chekli o‘lchamli operator deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda ga o‘lchamli operator deyiladi.
Ta’rif. Bizga operator berilgan bo‘lsin. Agar operator dagi har qanday chegaralangan to‘plamni dagi nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda kompakt operator yoki to‘la uzluksiz operator deyiladi.
Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi yetarli va zarurdir. Demak, chekli o‘lchamli fazodagi har qanday chegaralangan to‘plam nisbiy kompaktdir va aksincha.
Teorema. chiziqli operator kompaktdir.
Isbot. fazoda aniqlangan chiziqli operatorning chegaralanganligi 16.1-teoremada isbotlangan edi. chegaralangan operator bo‘lgani uchun har qanday chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga o‘tkazadi. Har qanday chegaralangan to‘plam esa chekli o‘lchamli fazoda nisbiy kompaktdir. Demak, chiziqli operator kompaktdir.
Teorema. bo‘lsin. U holda kompakt operator bo‘ladi.
Isbot. chegaralangan operator bo‘lgani uchun ixtiyoriy chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga akslantiradi. Ma’lumki, va bo‘lgani uchun nisbiy kompaktdir. Demak, kompakt operator.