Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг аниқ ва тақрибий усуллари

Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг аниқ ва тақрибий усуллари.

Бизга та номаълумли та чизиқли алгебраик тенгламалар системаси

(1)
берилган бўлсин. Бу ерда лар берилган сонлар, лар номаълумлар (i,j=1,2,...,n). Агар (1) системага мос келувчи асосий детерменант 0 дан фарқли, яъни

бўлса у ягона ечимга эга бўлади.
Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг бир неча усуллари мавжуд бўлиб, улардан асосийлари Крамер, Гаусс, тескари матрица, оддий итерация ва Зейдел усулларидир. Бу усуллар алгоритмларини (1) система учун кўриб чиқайлик.
Гаусс усули. Гаусс усули ёки ноъмалумларни кетма-кет йўқотиш усули чизиқли алгебраик тенгламалар системасини аниқ ечиш усули ҳисобланади. Бу усулининг алгоритми қуйидаги ҳисоблашлар кетма-кетлигидан иборат.
бўлсин (агар бўлса, системадаги тенгламаларнинг ўрнини алмаштириб га эга бўлиш мумкин). (1) системадаги биринчи тенгламанинг барча ҳадларини га бўлиб

ни ҳосил қиламиз. Бу тенгламани кетма-кет ларга кўпайтириб, ундан системанинг кейинги тенгламаларини айирамиз ва
(2)
системага эга бўламиз. Бу ерда , i=2,…,n; j=2,3,…,n.
(2) система учун юқоридаги ҳисоблашлар (номаълумларни кетма-кет юқотиш) ни бир неча бор такрорлаб, қуйидаги
(3)
системани ҳосил қиламиз ва х_i ларни топиш учун
(4)
формулага эга бўламиз.
Оддий итерация усули. Номаълумлар сони кўп бўлганда Крамер, Гаусс, тескари матрица усулларининг аниқ ечимлар берувчи чизиқли система схемаси жуда мураккаб бўлиб қолади. Бундай ҳолларда система илдизларини топиш учун баъзан тақрибий сонли усуллардан фойдаланиш қулайдир. Шундай усуллардан бири итерация усулидир. Қуйидаги тенгламалар системаси берилган бўлсин:
, i =1,2,...,n (5)
Бу система матрица кўринишда қуйидагича ёзилади:
,
бу ерда
.
Биз (5) да (i=1,n) деб фараз қиламиз.
Тенгламалар системасида 1- тенгламани х₁ га нисбатан, 2- тенгламани х₂ га нисбатан ва охиргисини х_n га нисбатан ечамиз:
(6)
Ушбу
ва
матрицалар ёрдамида (6) ни қуйидагича ёзишимиз мумкин
(7)
(7) системани кетма-кет яқинлашишлар усули билан ечамиз:
х⁽⁰⁾=, , ,....
Бу жараённи қуйидагича ифодалаймиз:
, х⁽⁰⁾= (8)
Бу кетма-кетликнинг лимити, агар у мавжуд бўлса (5) системанинг изланаётган ечими бўлади.
Биз

белгилашни киритамиз.
Агар ихтиёрий >0 учун тенгсизлик барча i =1,2,...n учун бажарилса вектор (5) системанинг  аниқликдаги ечими деб юритилади.
Теорема. Агар келтирилган (6) система учун ёки шартлардан биронтаси бажарилса, у ҳолда (8) итерация жараёни бошланғич яқинлашишни танлашга боғлиқ бўлмаган ҳолда ягона ечимга яқинлашади.
Натижа (8) тенгламалар системаси учун , , ..., тенгсизликлар бажарилса (8) итерация яқинлашувчи бўлади.
Зейдел усули Фараз қилийлик (5) система берилган бўлсин ва ундаги диогонал коэффицентлар нолдан фарқли бўлсин, яъни . Системанинг биринчи тенгламасини га, иккинчисини га нисбатан ечиб қуйидаги системага эга бўламиз.
,
(9)
………………………………
.
Бу ерда , да ва , да.
(9) системани кетма-кет яқинлашиш усулида ечамиз.
Нолинчи яқинлашиш сифатида ларни шундай танлаймизки, улар ларга иложи борича яқин бўлсин.
Нолинчи яқинлашиш сифатида кўпчилик ҳолларда ларнинг тақрибий қийматлари олинади. К-чи яқинлашишни маълум деб, (К+1) яқинлашишни қуйидаги формула орқали аниқлаймиз.
;
; (10)

Бу усулнинг мазмуни шундан иборатки, (К+1) чи яқинлашишда номаълум нинг ифодасида ундан олдинги ҳадларнинг (К+1) чи яқинлашишлари қўлланилади.
Бу келтирилган яқинлашишнинг зарурий шарти қуйидаги теорема орқали берилади.
Теорема. Агар (9) система учун қуйидаги тенгсизликларнинг
1)
ёки
2)
бирортаси бажарилса (10) итерация жараёни системанинг ечимига яқинлашади ва у нолинчи яқинлашишга боғлиқ бўлмайди.
Натижа: Қуйидаги система учун

итерация жараёни яқинлашувчи бўлади, агарда

тенгсизлик бажарилса, яъни ҳар бир тенгламада диогонал коэффициентларининг модули қолган бошқа коэффициентлар модулларининг йиғиндисидан катта бўлса (озод ҳадларни ҳисобга олмаганда).