Чизиқли алгебраик тенгламалар системаларининг шартлашганлик ўлчовини ҳисоблаш. Ёмон шартлашган час ига мисол тузиш

Чизиқли алгебраик тенгламалар системаларининг шартлашганлик ўлчовини ҳисоблаш . Ёмон шартлашган ЧАС ига мисол тузиш

Rⁿ- n-ўлчовли чизиқли фазода векторлар учун нормани қуйидаги икки усулда киритамиз:

(1)
Норма аксиомаларини бажарилашини текширамиз.
Х тўплам чизиқли нормалланган фазо дейилади, агар у чизиқли ва ҳар бир элементи учун х элемент нормаси деб аталувчи сон мос қўйилган бўлиб у қуйидаги аксиомаларни қаноатлантирса:

Биринчи норма учун норма аксиомалари бажарилишини кўрамиз

фазо х=0 бўлганда

бунда

Айтайлик икки берилган бўлсин
, .
Шунда к номер танланади
.
Бунда .
Энди Rⁿ да скаляр кўпайтмани қараймиз :

Скаляр кўпайтма таърифи:
Х чизиқли фазода скаляр кўпайтма киритилган дейилади , агар ҳар элементлар жуфти учун (x,y) скаляр кўпайтма деб номланувчи ҳақиқий сон мос қўйилган бўлиб у қуйидаги аксиомаларни қаноатлантирса:

Скаляр кўпайтма киритилган Х чизиқли фазо Евклид фазоси деб номланади.
нормаси норма аксиомаларини қаноатлантириши чизиқли алгебра курсида исботланган.
учун нормалар учун қуйидаги муносабат ўринли:
(2)
Чизиқли квадрат матрицалар фазосида



нормани қуйидагича киритамиз:
(3)
бу ерда х ва Ах векторлар нормаси

(3) формула билан берилган А матрицани нормаси вектор нормаси билан мувофиқлаштирилган норма дейилади.
Хусусан, агар A=E –бирлик матрица бўлса, (бунда E х=х) у ҳолда , у ҳам (3) формуладан
(4)
бўлади.
бўлганда мос ҳолдаги вектор норма мослаштирилган.
Бундан
(5)
(6)
эканлигини исботлаш мумкин .
Хусусан А матрица симметрик матрица бўлса, яъни бўлса, у ҳолда
(7)
бу ерда -А матрицанинг хос сонидир (қийматидир).
Айтайлик А ва В квадрат матрица бўлиб А+В нинг йиғиндиси


Шундай қилиб, (3) формула билан киритилган матрица нормаси учун аксиомаси бажарилган.
(3) формуладан асосан учун
(8)
(8) формулага асосан учун

бундан

Яъни
(9)
Алгебраик чизиқли тенгламалар системасини қараймиз:
Ах=В (10)
бу ерда . (10) система да ягона ечимга эга. Амалиётда ечим тақрибий топилади.
Ечимни ҳисоблашда хатоликни баҳолаймиз. (10) система билан бирга ушбу
(11)
системани қараймиз, бу ерда ўнг томон хатолиги, r - ечимнинг хатолиги.


Яъни ечимнинг нисбий хатолиги система ўнг томони нисбий хатолигига нисбати
(12)
тенгсизлик бажарилар экан.
(13)
миқдор А матрицанинг шартлашганлик ўлчови дейилади.
Агар А метрика симметрик бўлса, яъни ва бўлса , у холда
(14)

Агар ўлчов катта бўлса, у ҳолда А матрица (система (10)) ёмон шартлашган дейилади. Агар унча катта бўлмаса, у ҳолда матрица А (ёки система ) - яхши шартлашган дейилади.

Ёмон шартлашган системага мисол.(10) тенгламалар системасини қараймиз: в=(-1,-1,...,-1,1)
(15)

(16)
(16) система ягона ечимга: х=(0,0,0,…,0,1) .
Фараз қиламиз тескари ... х_n =1ўринли хатоликка йўл қўйилди, У ҳолда (15) система ечими ўрнига (11) система ечим олинади.
r – хатолиги ушбу

системани қаноатлантиради.
Бунда




(5) дан бўлади, бу ерда А (15) матрица



А матрицани шартлашганлик ўлчови етарлича катта бўлади, шу сабабли (16) система ёмон шартлашган матрица бўлади.