Чизикли тенгламалар системаси ва уларни ечиш усуллари, амалий масалаларни ечишда куллаш

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. sistemani yeching.
Yechish: Avvalo, bu sistemaning determinantini hisoblaymiz.

Demak, berilgan sistema yagona yechimga ega. Uni Kramer formulasidan foydalanib topamiz: Buning uchun va larni topamiz.
; ;
,
Demak, berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.
2. sistemani yeching.
Yechish: Bu sistema uchun
, ,

bo’ladi. Demak, berilgan sistema birgalikda emas, ya’ni uning yechimi mavjud emas.
3. sistemani yeching.
Yechish: Bu sistema uchun
, ,
.
bo’ladi. Ixtiyoriy ko’rinishdagi juftlik berilgan sistemaning yechimi ekani ravshan. Demak, berilgan sistema noaniq sistema bo’lib, u cheksiz ko’p yechimga ega.
4. Quyidagi sistemani yeching.
Yechish: Bu sistemaning determinantini hisoblaymiz:

Demak, berilgan sistema yagona yechimga ega. Berilgan sistema uchun
;


;


.
bo’ladi.
Kramer formulasidan foydalanib
, , bo’lishini topamiz. Demak, berilgan sistemaning yechimi dan iborat.
5. Quyidagi
sistemani yeching.
Yechish: Bu sistema uchun va larni topamiz:
;


;


;


;
bo’lgani sababli berilgan sistema yechimga ega emas.
6. Quyidagi
chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish: Bu sistemaning determinantini hisoblaymiz:




Demak, berilgan tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Endi va larni topamiz.



.
Xuddi shu kabi , , larni topamiz. Demak, , ,
7. Ushbu sistemani Gauss usulida eching:

Yechish: Bu sistemadan noma’lumlarni birin-ketin yo’qotamiz.
1-qadam. Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan noma’lumni yo’qotamiz. Kasr sonlarga kelmaslik va bu orqali hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida buni quyidagicha amalga oshiramiz. Dastlab 1-tenglamaning ikkala tomonini -3 soniga, 2-tenglamani esa 2 soniga ko’paytirib, ularni o’zaro qo’shamiz. So’ngra 1-tenglamaning ikkala tomonini -2 soniga ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglamani 3-tenglamaga qo’shamiz. Natijada, berilgan sistemaga ekvivalent bo’lgan quyidagi sistemaga kelamiz:

2-qadam. Oldingi qadamda hosil qilingan sistemaning ikkinchi tenglamasini -8 soniga, uchinchi tenglamasini 17 soniga ko’paytirib ozaro qo’shamiz:

Dastlab hosil bo’lgan sistemaning uchinchi tenglamasidan ekanligini topamiz. So’ngra bu qiymatni sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yib, undan ekanligini topamiz. Yakuniy qadamda , va larni sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yib, undan ekanligini topamiz. Demak, berilgan sistemaning yagona yechimi , , ekan.
8. sistema matritsa usuli bilan yechilsin.
Yechish: , , .
bo’lgani uchun berilgan sistema matritsaviy tenglama ko’rinishiga keladi. Uni Yechish uchun dastlab matritsaning determinantini hisoblaymiz.
.
Demak, matritsa uchun teskari matritsa mavjud. Uni aniqlash uchun matritsa determinantining barcha algebraik to’ldiruvchilarini aniqlaymiz:
3; 4;
2; 6; 
2; -1;
3; -1;
-4.
Bularni matritsaga teskari matritsani aniqlash formulasiga qo’yamiz.
.
Buni ga qo’yamiz:




Demak,
bo’lib, undan , va lar
kelib chiqadi. Bular berilgan sistemaning yechimidan iborat.
9. sistema yechilsin.
Yechish: bo’lgani uchun berilgan sistemaning matritsaviy yozuvi ko’rinishda boladi. Undan esa
ni yozishimiz mumkin. Demak, berilgan sistemaning yechimi matritsaga teskari matritsa bilan matritsaning ko’paytmasidan iborat ekan. Ma’lumki, matritsaga teskari matritsa mavjud bo’lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo’lishi kerak. Ya’ni
.
matritsaning barcha algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:
; ;
; .
Bularni teskari matritsani topish formulasiga qo’yamiz:
.

 ;

, .


Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:
1. Determinantlar yordamida quyidagi tenglamalar sistemasi yechil- sin:
1) 2) 3)

4) 5) 6) .

7) 8)
9) 10)
11) 12)