Чизикли тенгламалар системаси ва уларни ечиш усуллари, амалий масалаларни ечишда куллаш

2-hol. bo’lib, , lardan hech bo’lmaganda bittasi noldan farqli bo’lsin. Bunda berilgan sistema yechimga ega bo’lmaydi.
3-hol. bo’lib, bo’lsin. Bu holda sistema yoki cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi yoki bitta ham yechimga ega bo’lmaydi.
ta , ,…, noma’lumli chiziqli tenglamalardan iborat ushbu

sistema ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi.
Bunda sistema koeffitsientlari, lar ozod hadlar (berilgan sonlar). Bu sistema uchun ham yuqoridagidek hollar bo’lishi mumkin.
Bir jinsli uch noma’lumli ikkita tenglama sistemasi

ko’rinishda bo’lib, u quyidagi formulalar bilan aniqlanuvchi yechimlarga ega.
, ,
bu yerda ixtiyoriy son.
Bir jinsli uch noma’lumli uchta tenglama sistemasi

ko’rinishga ega bo’lib, u

bo’lganda nolga teng bo’lmagan yechimlarga ega bo’ladi va aksincha. Ikki noma’lumli uchta chiziqli tenglama sistemasi

ko’rinishda bo’lib, u

bo’lganda va uning hech qaysi ikkita tenglamasi o’zaro zid bo’lmasa, birgalikda bo’ladi.
Aytaylik, quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.

Sistemadagi noma’lumlarni koeffitsientlaridan matritsani, noma’lumlardan matritsani va ozod hadlardan matritsani tuzamiz:
; ; .
U holda matritsalarning ko’paytirish qoidasidan va matritsalarning tenglik shartidan foydalanib, berilgan sistemani
yoki
ko’rinishda yozamiz. Bu tenglama eng sodda matritsaviy tenglama deyiladi.
Bu tenglama quyidagicha yechiladi. Dastlab matritsaning determinanti hisoblanadi. Agar bo’lsa, u holda berilgan matritsaga teskari matritsa mavjud bo’ladi. Matritsaviy tenglamaning har ikkala qismini hadma-had ga ko’paytirib

ni hosil qilamiz. Ko’paytirishning o’rin almashtirish xossasidan foydalanib

ni hosil qilamiz. Bu yerda va bo’lgani uchun . Bu berilgan sistemaning matritsaviy yechimi bo’ladi. Xuddi shu usul bilan ikki noma’lumli sistema ham matritsaviy ko’rinishda yoziladi va yechiladi.
Ba’zi hollarda chiziqli tenglamalar sistemasini Gaus usuli deb ataluvchi usul bilan ham yechiladi. Tenglamalar sistemasi bu usul bilan yechilganda noma’lumlar ketma-ket yo’qotib boriladi, va sistemaning tenglamalaridan biri bir noma’lumli tenglamaga keltiriladi. Undan esa noma’lum topiladi va topilgan qiymatni qolgan tenglamalarga qo’yib, qolgan noma’lumlar topiladi.