Chekli ayirmali approksimatsiyalar. Approksimatsiya xatoligi. Masalaning qo’yilishi va chekli ayirmali approksimatsiyalar

1.2. Oshkormas sxemalar
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun sof oshkormas sxema deb shablonni qo’llab (3-rasm) va quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan ayirmali sxemaga aytiladi

(15)

Bu yerda . Sxema bo’yicha birinchi va bo’yicha ikkinchi approksimatsiya tartibiga ega. (15) sistema yechimi oshkor sxema holidagi kabi dan boshlab qatlamlar bo’yicha topiladi. Ammo endi, oshkor sxemadan farqli ravishda, ni topish uchun ma’lum bo’yicha quyidagi tenglamalar sistemasini yechish talab qilinadi

3-rasm. Sof oshkormas sxema uchun ayirmali sxema shabloni
(16)

bu yerda . Bu sxemani progonka usuli bilan yechish mumkin, chunki progonka usulining turg’unlik sharti bajariladi.

(15) ayirmali sxema turg’unligini tekshirish uchun quyidagi tenglamaning (13) ko’rinishdagi xususiy yechimini izlaymiz

U holda quyidagiga ega bo’lamiz

bundan esa barcha larda ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, (15) sxema absolyut turg’un, ya’ni ixtiyoriy va qadamlarda turgun. Oshkormas sxemalarning asosiy afzalligi ularning absolyut turg’unligidir. Endi qadamni judayam kichik olish kerak emas, masalan, deb olish mumkin. va to’r qadamlari kattaliklari turg’unlik mulohazalari bilan emas, balki faqat zarur aniqlikdagi hisoblash uchun aniqlanadi.

Olti nuqtali simmetrik sxema deb quyidagi ayirmali sxemaga aytiladi

(17)

Bu sxemada ham boshlang’ich va chegaraviy shartlar xuddi (15) sxemadagidek beriladi. Bu sxemada olti nuqtali shablon qo’llaniladi (4-rasm).

4-rasm. Simmetrik sxema uchun ayirmali sxema shabloni
Bu sxema bo’yicha ham, bo’yicha ham ikkinchi tartibli approksimatsiyaga ega (faqat agar bo’lsa), u absolyut turg’un sxema va uni progonka usuli bilan yechish mumkin.

Yuqorida qaralgan uchta ayirmali sxemalarni umumlashtirib, bir parametrli vaznli sxemalar oilasini hosil qilamiz. Ixtiyoriy haqiqiy parametrni beramiz va quyidagi ayirmali sxemani aniqlaymiz

(18)

Bu yerdan da oshkor sxemani, da – sof oshkormas sxemani va da esa – (17) simmetrik sxemani hosil qilamiz. (4)-(6) berilgan masalani yechishda (18) sxemaning approksimatsiya xatoligini tekshiramiz. (18) masalaning yechimini ko’rinishida tasvirlaymiz, bunda – (4)-(6) berilgan differentsial masalaning aniq yechimi. U holda xatolik uchun quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

(19)

(19) tenglama o’ng tarafiga kiruvchi quyidagiga teng

(20)

to’r funktsiya (4)-(6) masalani yechishda (18) sxemaning approksimatsiya xatoligi deb ataladi.