Chebishev tengsizligi

8. MAVZU. Katta sonlar qonuni.Chebishev tengsizliklari. Chebishev va Bernulli teoremalari. Markaziy limit teoremalari. Katta sonlar qonuni tushunchasi. Chebishev tengsizliklarining katta sonlar qonuni o’rinli bo’ladigan teoremalarni isbotlashdagi muhim ahamiyati

Chebishev tengsizligi.


Lemma. X- faqat manfiy bo`lmagan qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdor bo`lsin. U holda

РХ  1  М Х 
(7.1)

Isboti. Bu tasdiqni diskret tasodifiy miqdor uchun isbotlaymiz. X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan bo`lsin..

Х	x1	x2	……	xn
Р	р1	р2	……	pn

bu yerda, _ р_i  1 ,
x_i  0

Birgalikda bo`lmagan hodisalar ehtimolliklarini qo`shish teoremasiga ko‘ra

pХ  1  _ pХ
x_i 1
 x_i 

biroq
x_i  1
uchun
pХ  x_i   x_i pХ  x_i 

Shuning uchun
pХ  1  _ pХ
x_i 1
 x_i   _x_i pХ
x_i 1
 x_i 
(7.2)

(7.2) ning o`ng tomoniga x<sub>i</sub><1 uchun
<sub></sub> x<sub>i</sub> pХ
x<sub>i</sub> 1
 x<sub>i</sub> 
yig`indini qo`shamiz, bu yig`indi

hamma vaqt musbat. U holda
pХ  1  _x_i pХ
x_i 1
 x_i  _x_i pХ
x_i 
 x_i   _x_i pХ
i 1
 x_i 

Yoki
РХ  1  М Х  Lemma isbotlandi.

Teorema. Xar qanday x tasodifiy miqdor uchun har bir  >0 da

tengsizlik o‘rinli.
Р Х  М Х 
   ^{DХ }
_ 2
(7.3)

Isboti.

Х  M
Х   
hodisa
Х  M Х ²
_ 2
 1 hodisaga teng kuchli. U xolda,

^ Х  M Х ^{2 }

P Х  M Х      P^
_{ } 2
 1^


_  
Yuqoridagi lemmadan, shuningdek matematik qutilish hossalari va dispersiya ta’rifidan quyidagiga ega bo`lamiz.

^ Х  M Х ^{2 
}Х  M Х ^{2 } 1
₂ 1 DХ 

_P _{ 2}
 1^  M _{  2}
 M Х  M Х   DХ  
_ 2 _ 2 _ 2

 
Shunday qilib,
 
Р Х  М Х 
   ^{DХ  .}
_ 2

qarama-qarshi hodisalar ehtimollar yig`indisi birga tengligidir.

Р Х  М Х 
   1  ^{DХ }
_ 2


(7.4)

(7.3) va (7.4) Chebishev tengsizligi deyiladi. (P.L.Chebishev, 1821-1894, rus matematigi)

Chebishev teoremasi (katta sonlar qonuni)

Agar erkli X₁, X₂, ….X_n tasodifiy miqdorlar dispersiyalari yagona o`zgarmas S sondan
katta bo`lmasa, ya’ni DХ_i   Ci  1, n  u holda har qanday kichik   0 son uchun

• 
  M Х    tengsizlikning ehtimolliligi tasodifiy miqdorlar soni n yetarligi katta
  

  
bo`lganda birga yaqin bo`ladi ya’ni

lim P Х  M Х

n
   1


(7.5)

Bu yerda,
_{Х } Х₁  Х ₂  ...Х _n
n

Isboti. (7.4) Chebishev tengsizligiga asosan,


PХ  M Х 
   1  ^{DХ }
_ 2


(7.6)

Dispersiyani xossasidan
DХ  ¹ DХ  ...  DХ
  ^nС  ^С

_n2 ^1
n n² n


Bu yerda (7.6) tengsizlik va har qanday hodisaning ehtimoli birdan oshmasligidan

1  PХ  M Х 
   1  ^С
 ²n
(7.7)

(7.7) tengsizlikdan
n  
da limitga o`tib, (7.5) ni xosil qilamiz.

Chebishev teoremasini bir asosiy hususiy holini qaraymiz.
Agar barcha tasodifiy miqdorlar bir xil matematik qutilishga ega bo`lsa, ya’ni

 
M ^Х₁^  M ^Х₂ ^  ....  M ^Х_n ^  а bo`lsa, va D[Х_i]

lim P Х  a  
n
  1
(7.8)

Chebishev teoremasining mazmuni quyidagicha: Ayrim erkli tasodifiy miqdorlar uz matematik qutilishlaridan ancha farq qiladigan qiymatlar qabul qilsada, yetarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlar o`rta arifmetigi X katta ehtimollik bilan ularning matematik qutilishining o’rta arifmetigiga yaqin bo`ladi.
Chebishev teoremasi katta amaliy ahamiyatga ega; Masalan, biror fizik kattalikni o`lchash uchun odatda bir nechta o`lchashlar o`tkaziladi va izlanayotgan o`lcham sifatida ularning o’rtacha arifmetik qiymati qa’bul qilinadi. Bunday o`lchash usulini tug`ri deb hisoblash mumkinmi?
Bunga Chebishev teoremasi (xususiy xoli) javob beradi.
Shuningdek, statistikada qo`llaniladigan tanlanma usuli xam Chebishev teoremasiga asoslangan.

Bernulli teoremasi.

Chebishev teoremasining hususiy hollaridan biri «Katta sonlar qonuni» bilan yuritilgan Bernulli teoremasini qaraymiz.
Teorema. Agar n ta erkli sinovning har birida A hodisaning ro`y berish ehtimoli r

ga teng va sinovlar soni yetarlicha katta bo`lsa, u holda har qanday
  0
son uchun


lim P
 p     1
(7.9)


n _{ }

Isboti. Xi erkli i- sinovda xodisaning ruy berishlar sonini belgilaymiz i  i , n

U holda m=x₁+x₂+….+x_n,
m _ x₁  ....x_{n  Х}
M[Х_i]=р, q=1-p, D[Х_i]=pq

р+q=1 ligidan

pq  ¹
4
n n
shunday qilib
DХ
 ¹
4

demak, Х_i (i=1,n) tasodifiy miqdor uchun Chebishev teoremasining hususiy holdagi barcha shartlari bajariladi; Demak (7.8) formula (7.9) ga aylanadi.
Bernulli teoremasining amaliy ahamiyati quyidagicha: yetarlicha katta sinovlarning har birida A hodisaning ro`y berish ehtimoli o`zgarmas r soni teng bo`lsa, A hodisaning ro`y berish nisbiy chastotasi uning ehtimolidan kam farq kiladi.

NAMUNAVIY MASHQLAR

1. 
   Chorvachilik fermasida suvning o’rtacha sarfi kuniga 1000 l, bu tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik chetlashishi 200 l dan oshmaydi. Ixtiyoriy tanlangan kunda fermadagi suv sarfi 2000 l dan oshmasligi ehtimolini toping.
   

Y e c h i s h . X  chorvachilik fermasidagi suv sarfi (l) bo’lsin.
Shartga ko’ra DX    ²  200². ^{0  X  2000} oraliqning chegaralari
M X  1000ga nisbatan simmetrik. Shu sababli izlanayotgan hodisa ehtimolini baholash uchun Chebishev tengsizligini qo’llash mumkin. U holda

PX
 2000 
P0  X
 2000 
P X
 1000
 1000 1 
200² _
1000²
0,96.

2. 
   Qandydir kattalik o’lchanayotgan bo’lib, har bir o’lchashning o’rtacha kvadratik chetlashishi absolut qiymat bo’yicha 5 dan oshmasin. O’lchashlarning o’rta arifmetigi kattalikning haqiqiy qiymatidan absolut qiymat bo’yicha 1 dan katta bo’lmagan chetlashishga ega bo’lishiga 0,95 ga teng ehtimol bilan kafillik berish uchun nechta o’lchashlar bajarish kerak?
   

Y e c h i s h . X  i  1, n o’lchash natijasi, ^{a } kattalikning haqiqiy qiymati

i
bo’lsin. U nolda har qanday i uchun
M X
  a.



i
^  a 


¹ ^{ 0,95}shartni qanoatlantiruvchi n ni topish kerak.


Chebesev teoremasiga ko’ra bu tengsizlik bajarilishi uchun

_ 2
1  _{n 2}
 1 
₅2
n 1²
 0,95
bo’lishi kerak. Bundan
25 _
n
0,05
yoki
_{n } 25
0,05
 500

, ya’ni kamida 500 ta o’lchashlar bajarish lozim.

MUSTAHKAMLASH UCHUN MASHQLAR

1. 
   Bankiga qo’yilgan jamg’armalar miqdori 20000000 so’mga teng. Tavakkaliga tanlangan jamg’armaning miqdori 100000 so’mdan kam bo’lishi ehtimoli 0,8 ga teng bo’lsa, bankka pul qo’ygan mijozlar soni haqida nima deyish mumkin?
   

Javob: n 1000.

2. 
   Taqmoqqa 20 ta yoritgich parallel ulangan. T vaqt ichida har bir yoritgichning yonish ehtimoli 0,8 ga teng. Ghebeshev tengsizligidan foydalanib, T vaqt ichida yongan yoritgichlar bilan shu vaqt ichida yongan yoritgichlarning
   

o’rtacha soni orasidagi ayirmaning absolyut qiymati: 1) uchdan kichik bo’lishi; 2) uchdan kichik bo’lmasligi ehtimolini toping.
Javob: 1) P^ X 16  3^ 0,36; 2) P^ X 16  3^ 0,64.

3. 
   Agar DX =0,004 bo’sa, Chebeshev tensizligidan foydalanib,
   

X  M ^X ^  0,2 ehtimolni baholang.
Javob: P^ X  M ^X ^  0,2^ 0,9.

4. 
   Avtomatdan standart detalning chiqishi ehtimoli 0,96 ga teng. Ghebeshev tengsizligidan foydalanib, 2000 detal orasida nostandart detallar soni 60 tadan 100 tagacha bo’lishini baholang.
   

Javob: Pm  80  20 0,808.

5. 
   900 ta sinashning har birida hodisaning ro’y berishi ehtimoli 0,7 ga teng. Bernulli teoremasidan foydalanib, hodisaning ro’y berishlari soni 600 tadan 660 tagacha roy berishi ehtimolini toping.
   

Javob: P  0,79.

6. 
   O’g’il va qiz bola tug’ilishi ehtimollari bir xil deb olgan holda 1000 tug’ilgan bola orasida qiz bolalar soni 465 bilan 535 orasida bo’lishi ehtimolini Bernulli teoremasi orgali toping.
   

Javob: P  0,796.

8.