Часть II issn 2072-0297

175
“Young Scientist”
. 
# 7 (111)
. 
April 2016
Technical Sciences
Аналитические методы преобразования динамических моделей
Тожихужаева Нодира Закировна, старший преподаватель; 
Акбарова Шохида Азатовна, старший преподаватель
Ташкентский государственный технический университет имени Абу Райхана Беруни (Узбекистан)
М
атематическое моделирование динамических систем является естественным и одним из основных способов их из-
учения. Усложнение задач анализа динамики систем и расширение класса исследуемых динамических объектов 
требуют последующего развития и усовершенствования методов математического моделирования, разработки новых 
эффективных методов и средств компьютерной реализации математических моделей реальных физических объектов 
и процессов.
В процессе решения задач динамики, в том числе при исследовании и проектировании динамических систем, важным 
методом проявления их специфических свойств и возможностей численной реализации является представление моделей 
в различных близких друг другу формах, что приводит к необходимости поиска и развития методов эквивалентного пре-
образования моделей. Часто получение модели, исходя из ее физических свойств, удобно в одной форме, а ее численная 
реализация в другой, эквивалентной исходной.
Следующим этапом после определения оптимального типа математической модели и приведения ее к виду удобному 
для моделирования на ЭВМ, является собственно ее компьютерная реализация.
Пусть задана задача Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами
,
)
(
,...,
)
(
,
),
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
1
1
1
0
0
0
−
−
−
−
=
=
≥
=
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
C
y
C
y
x
x
f
x
y
x
a
dx
x
y
d
x
a
dx
x
y
d
(1) 
она имеет эквивалентное представление в виде интегрального уравнения [1] 
),
(
)
(
)
,
(
)
(
x
ds
s
u
s
x
K
x
u
x
a
ϕ
=
−
∫
где 







=
+
=
−
−
∫
.,
д
.
т
i
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
1
1
0
n
n
x
n
n
dx
x
y
d
C
ds
s
u
dx
x
y
d
x
u
(2) 
∫
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
=
x
n
n
n
ds
s
u
s
x
n
C
x
C
n
x
C
x
y
0
1
0
1
1
1
)
(
)
(
)!
1
(
1
...
)!
1
(
)
(
, 
,
)!
1
(
)
(
)
(
)
,
(
1
1
∑
=
−
−
−
=
n
i
i
i
i
s
x
x
a
s
x
K
(3) 
).
(
...
)!
1
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
2
2
1
1
1
x
a
C
x
C
n
x
C
x
a
C
x
C
x
a
C
x
f
x
n
n
n
n
n
n






+
+
+
−
−
−
−
+
−
−
=
ϕ
−
−
−
−
−
При получении данных выражений выполняется интегрирование выражений (2) и используется формула 
∫
∫
∫ ∫
−
−
−
=
−
x
a
n
x
a
n
n
x
a
x
a
ds
s
z
s
x
n
dx
x
z
dx
dx
n
)
(
)
(
)!
1
(
1
)
(
1
2
1
1
1
2
. 
Можно увидеть, что задача (1) эквивалентна интегральному уравнению Вольтерра ІІ рода с частичным видом ядра 
(3). Выбор одной из двух эквивалентных форм записи задачи Коши зависит от самой постановки решаемой задачи и от 
ее свойств при численном решении. 

---

176
«Молодой учёный»
.
№ 7 (111)
 .
Апрель, 2016 г.
Технические науки
Одной из лучших форм описания динамических систем являются интегро-дифференциальные уравнения, однако их 
анализ является одной из наименее исследованных областей математического моделирования. Во время применения 
интегро-дифференциальных моделей важное прикладное значение для исследователя имеет их эквивалентное анали-
тическое преобразование к моделям в виде интегральных уравнений, методы численной реализации которых доста-
точно хорошо разработанные и имеют ряд преимуществ: стойкость решения, меньшую чувствительность от возмуще-
ний, погрешностей входных данных и т. д. Кроме того, такое преобразование позволяет расширить класс используе-
мых численных методов, в частности, позволяет использовать быстросходимые итерационные методы и методы вла-
деющие высокой стойкостью решения интегральных уравнений, например, модифицированный метод Ньютона-
Канторовича [2]. Рассмотрим нелинейное интегро-дифференциальное уравнение вида [3]: 
)
(
))
(
),...,
('
),
(
;
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
ds
s
u
s
u
s
u
s
x
K
x
u
x
b
x
u
x
a
m
n
j
j
j
n
+
λ
=
+
∫
∑
−
=
1
1
,
(4) 
с нулевыми начальными условиями 
0
1
=
=
=
=
−
)
(
...
)
('
)
(
)
(
а
u
а
u
а
u
п
, 
и 
)
(
x
b
j
— непрерывные функции, 
m
n
≥
. 
Пусть 
n
i
x
u
i
,
),
(
1
=
— фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения 
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
=
+
∑
−
=
n
j
j
j
n
x
u
x
b
x
u
Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
u
x
b
x
u
n
j
j
j
n
ϕ
=
+
∑
−
=
1
1
, 
можно записать в виде 
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
x
u
x
C
x
u
C
x
u
x
C
x
u
n
n
+
+
+
=
2
2
1
1
. 
(5) 
Согласно метода вариации постоянных, коэффициенты определяются за формулой [4] 
∫
ϕ
=
x
a
ni
i
ds
s
s
W
s
W
x
C
)
(
)
(
)
(
)
(
,
(6) 
где 
)
(
)
(
)
('
)
('
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
u
s
u
x
u
s
u
x
u
s
u
s
W
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
−
−
=
2



2
2
, 
)
(
s
W
ni
— минор элемента 
n
-ой строки 
j
-го столбца определителя 
)
(
s
W
. 
С учетом (6) выражение (5) примет вид 
∫
ϕ
=
x
a
ds
s
s
x
G
x
u
)
(
)
,
(
)
(
,
(7) 
где 
)
(
)
,
(
)
,
(
s
W
s
x
W
s
x
G
1
=
, 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
x
u
x
u
s
u
s
u
s
u
s
u
s
u
s
u
s
x
W
n
n
n
n
n
n
2
2



2
2
1
2
2
1
1
1
1
−
−
′
′
=
. 

---

177
“Young Scientist”
. 
# 7 (111)
. 
April 2016
Technical Sciences
Литература:
1. Верлань, А. Ф., Сизиков В. С. Интегральное уравнение: Методы, алгоритмы, программы. — К.: Наукова думка, 
1986. — 542 с.
2. Канторович, Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ, второе издание. — М.: Наука, 1977. — 744 с.
3. Верлань, А. Ф. Некоторые особенности интегрального метода математического моделирования / А. Ф. Верлань 
// Электроника и моделирование, 1975, вып. № 5, с. 82–86.
4. Бенькович, Е. С. Практическое моделирование сложных динамических систем / Е. С. Бенькович, Ю. Б. Колесов, 
Ю. Б. Сениченков — СПб.: БХВ, 2001. — 401 с.
5. Верлань, А. Ф. Математическое моделирование непрерывных динамических систем / А. Ф. Верлань, С. С. Мо-
скалюк. — К.: Наук. думка, 1988. — 287 с.
Учитывая выражение (7), уравнение (4) можно привести к виду [5]: 
∫
∫
∫
=






λ
−
x
a
x
a
x
a
m
ds
s
f
s
x
G
ds
dt
t
u
t
u
t
u
t
x
K
s
x
G
x
u
)
(
)
,
(
))
(
),...,
('
),
(
;
,
(
)
,
(
)
(
)
(
, 
а потом, выполнив замену 
)
(
)
(
)
(
x
u
x
y
m
=
, преобразовать к эквивалентному интегральному уравнению 
,
)
(
)
,
(
))
(
),...,
(
),
(
;
,
(
)
,
(
)
(
)!
(
)
(
)
(
∫
∫
∫
∫
=
=






λ
−
−
−
−
x
a
x
a
x
a
x
a
m
m
ds
s
f
s
x
G
ds
t
y
t
y
t
y
t
x
K
s
x
G
ds
s
y
m
s
x
1
1
1
где 
m
i
ds
s
y
i
n
s
x
y
x
a
i
n
i
,
,
)
(
)!
(
)
(
)
(
1
1
1
=
−
−
−
=
∫
−
−
. 
В случае ненулевых начальных условий 
1
0
−
=
=
n
i
c
a
u
i
i
,
,
)
(
)
(
, заменой переменных 
∑
−
=
−
+
=
1
0
n
i
i
i
a
x
i
c
x
y
x
u
)
(
!
)
(
)
(
, 
задача сводится к задаче с нулевыми условиями. 
Переход от интегральных уравнений к дифференциальным, как один из подходов к решению линейных 
и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра, возможен лишь в частичном случае, что являются следствием вы-
сокой универсальности уравнений Вольтерра ІІ рода как формы описания задачи Коши. Одним из таких частичных, но 
распространенных случаев является случай вырожденного, или близкого к нему, ядра. Такой подход может быть 
вполне аргументированным как при математической постановке задачи, так и при их развязывании, поскольку методы 
развязывания дифференциальных уравнений достаточно хорошо разработанные и широко применяются. 
При решении практических задач часто представляется удобным приближенно заменять дифференциальные урав-
нения в частных производных дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. Это представляется 
возможным при использовании метода конечных разностей или как его часто называют метод прямых, а также при 
помощи методов, основанных на замене функций многих переменных суммой произведений функции, каждая из кото-
рых представляет функцию только одной переменной. 
Использование эквивалентных форм математических моделей динамических систем является общепринятым под-
ходом. Рассмотренные в работе методы позволяют получать модели, исходя из ее физических свойств, в одной форме, 
а ее численную реализацию проводить в другой, эквивалентной исходной. 

---