Часть II issn 2072-0297

Оптимизация по условиям Куна‑Таккера
Сухов Ярослав Игоревич, студент; 
Гарькина Ирина Александровна, доктор технических наук, профессор
Пензенский государственный университет архитектуры и строительства
Р
ассмотрим частный случай задачи нелинейного программирования, а именно квадратичного программиро-
вания [1,2], в которой минимизируется сумма линейной и квадратичной форм при ограничениях вида линейных не-
равенств при неотрицательности переменных. Эти соотношения имеют вид:
( )
min;
=
+
=
∑∑
∑
j k
k
j
k
j
j
j
j
x
x
d
x
c
q x
;
,
1
,
0
m
i
b
x
a
i
k
k
k
i
=
≤
−
∑
.
,
1
,
0
n
j
x
i
=
≥
(1) 
Ограничимся случаем, когда квадратичная форма является положительно определённой (а значит, и выпуклой; 
функция 
( )
x
f
является выпуклой, если при любом 0 ≤ λ ≤ 1 справедливо 
(
)
[
]
( ) (
) ( )
2
1
2
1
1
1
x
x
x
x
f
f
f
λ
−
+
λ
≤
λ
−
+
λ
Линейная форма — также выпуклая функция. Поэтому целевая функция будет выпуклой. В этом случае необхо-
димые условия Куна-Таккера являются и достаточными условиями существования единственного оптимума. 
Для записи условий Куна-Таккера введём в рассмотрение функцию Лагранжа: 
( )








−
λ
+
+
=
∑
∑
∑∑
∑
i
k
k
k
i
i
i
j k
k
j
k
j
j
j
j
b
x
a
x
x
d
x
c
L λ