Часть II issn 2072-0297

x,
. 
Производные от 
( )
λ
x,
L
по x
j
и λ
i
 запишутся в виде 
;
,
1
,
2
n
j
p
a
x
d
c
j
i
j
i
i
k
k
k
j
j
=
=
λ
+
+
∑
∑
.
,
1
,
m
i
q
x
a
b
i
k
k
k
i
i
=
=
−
∑
(2) 
Условиями Куна-Таккера требуется найти решение этих уравнений при удовлетворении требований
;
0
,
0
,
0
≥
=
λ
=
j
i
i
j
j
x
q
p
x
.
,
1
,
,
1
;
0
,
0
,
0
n
j
m
i
q
p
i
j
i
=
=
≥
≥
≥
λ
(3) 
Отметим, что классическая задача оптимизации состоит в нахождении минимума целевой функции 
( )
x
q
, где 
x
= 
(x
1
, x
2
,..., x
n
) — точка в пространстве 
n
R
 при наличии ограничений типа равенств 
( )
.
,
,
1
,
0
n
m
m
i
f
i
<
=
=
x
Если ограничения имеют место, то минимум функции 
( )
x
q
будет условным. Если ограничения отсутствуют, то го-
ворят о безусловном минимуме, нахождение которого сводится к определению и исследованию стационарных точек 
функции 
( )
x
q
. 

---

183
“Young Scientist” .  #7 (66) .  May 2014
Technical Sciences
Классический способ решения данной задачи состоит в том, что уравнения
( )
n
m
m
i
f
i
<
=
=
,
,1
,
0
x
, используются 
для исключения из рассмотрения m переменных. При этом целевая функция приводится к виду 
(
) (
)
m
n
n
y
y
y
q
x
x
x
q
−
=
,
,
,
,
,
,
,
2
1
1
,
2
1


. 
где через 
m
n
y
y
y
−
,
,
,
,
2
1

обозначены неисключённые переменные. Задача сводится к нахождению значений 
m
n
y
y
y
−
,
,
,
,
2
1

, которые обращают в минимум функцию q
1
и на которые не наложено никаких ограничений, то есть 
к задаче на безусловный экстремум. 
Если ограничения имеют сложный вид, то исключение с их помощью m переменных из функции 
( )
x
q
представля-
ет значительные трудности. В связи с этим задачи на условный экстремум и сводятся к задаче на безусловный экстре-
мум с использованием функции Лагранжа. 
В рассматриваемом случае система (2) содержит 
(
)
m
n +
уравнений с 
(
)
m
n +
2
переменными 
i
j
i
j
q
p
x
,
,
,
,
λ
, из 
которых 
(
)
m
n +
являются свободными и могут быть приравнены к нулю. Остальные переменные образуют при этом 
базисное решение, которое является допустимым, если выполняются условия (3). 
Если число переменных в задаче не велико, то можно попытаться угадать допустимое базисное решение, положив 
(
)
m
n +
произвольных переменных свободными, приравняв их нулю, и, решив систему (3), найти значения базисных 
переменных. Однако нет никаких гарантий, что полученные значения переменных будут удовлетворять условиям (3). 
Поэтому попытки угадать допустимое базисное решение приходится проводить многократно. 
Если допустимое базисное решение найдено, то его улучшение, то есть переход к новому лучшему базису, произ-
водят на основании симплекс-метода, аналогично задаче линейного программирования. Отличие здесь заключается 
в том, что при выборе новой базисной переменной необходимо проверять выполнение условий 
0
=
j
j
p
x
, 
0
=
λ
i
i
q
, 
которые означают, что если в базисе имеется 
j
x
 или 
i
λ
, то в него не может быть введено
j
p
 или 
i
q
 соответственно. 
При большом числе переменных угадывание допустимого базисного решения становится чрезвычайно трудоём-
ким. В этом случае можно использовать эффективные известные систематические методы получения допустимого 
базисного решения. 
Для иллюстрации рассмотрим задачу определения рецептурно-технологических параметров композита, при кото-
рых достигается максимальное значение прочности на сжатие 
сж
R
(эквивалентна минимизации 
(
)
сж
R
x
x
q
−
=
2
1
,
). 
Предварительно с использованием методов математического планирования эксперимента была получена аппрокси-
мационная модель 
2
2
2
1
2
1
2
4
2
x
x
x
x
R
сж
−
−
+
=
в области факторного пространства, удовлетворяющей условиям 
0
8
2
2
1
≤
−
+
x
x
, 
0
12
2
2
1
≤
−
−
x
x
, 
0
,
2
1
≥
x
x
Функция 
(
)
2
1
, x
x
q
является выпуклой (представляет собой сумму линейной функции 
2
1
4
2
x
x
y
−
−
=
, которую 
можно рассматривать как выпуклую, и квадратичной формы 
2
2
2
1
2x
x
y
+
=
, которая является положительно-
определенной и, следовательно, также выпуклой). Система ограничений задачи включает только линейные неравен-
ства. Тогда можно воспользоваться теоремой Куна-Таккера. Составим функцию Лагранжа 
(
)
(
)
(
)
12
2
8
2
2
4
2
,
,
,
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
−
−
λ
+
−
+
λ
+
+
+
−
−
=
λ
λ
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
и запишем необходимые и достаточные условия существования седловой точки построенной функции: 
0
2
2
2
2
1
1
1
1
≥
λ
+
λ
+
+
−
=
∂
∂
=
x
x
L
p
, 
0
2
4
4
2
1
2
2
2
≥
λ
−
λ
+
+
−
=
∂
∂
=
x
x
L
p
; 
0
8
2
2
1
1
1
≤
−
+
=
λ
∂
∂
=
−
x
x
L
q
, 
0
12
2
2
1
2
2
≤
−
−
=
λ
∂
∂
=
−
x
x
L
q
. 
(4) 

---

184
«Молодой учёный» . № 7 (66)  . Май, 2014 г.
Технические науки
Литература:
1. Данилов, А. М., Гарькина И. А., Домке Э. Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных си-
стем. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 296 с.
2. Данилов, А. М., Гарькина И. А. Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография. — Пенза: 
ПГУАС. — 2011. — 308 с.
3. Будылина, Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических си-
стемах / Региональная архитектура и строительство. — 2013. — № 2 (16). — с. 138–142.
4. Будылина, Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М. Декомпозиция динамических систем в приложениях / Регио-
нальная архитектура и строительство. — 2013. — № 3 (17). — C. 95–100.
(
)
0
2
2
2
1
1
1
1
1
=
λ
+
λ
+
+
−
=
x
x
p
x
, 
(
)
0
2
4
4
2
1
2
2
2
2
=
λ
−
λ
+
+
−
=
x
x
p
x
; 
(
)
0
8
2
2
1
1
1
1
=
−
+
λ
−
=
λ
x
x
q
, 
(
)
0
12
2
2
1
2
2
2
=
−
−
λ
−
=
λ
x
x
q
. 
(5) 
Введя дополнительные неотрицательные переменные 
2
1
2
1
,
,
,
w
w
v
v
, обращающие неравенства (4) в равенства, 
получим: 
0
2
2
2
1
2
1
1
1
1
=
−
λ
+
λ
+
+
−
=
−
v
x
v
p
, 
0
2
4
4
2
2
1
2
2
2
=
−
λ
−
λ
+
+
−
=
−
v
x
v
p
; 
0
2
8
1
2
1
1
1
=
+
+
+
−
=
+
−
w
x
x
w
q
, 
0
2
12
2
2
1
2
2
=
+
−
+
−
=
+
−
w
x
x
w
q
. 
(6) 
Седловая точка функции Лагранжа для исходной задачи будет получена (определено оптимальное решение), если 
будет найдено базисное решение системы линейных уравнений (6) с учетом выполнения равенств (5). Из (6) следует: 
1
2
1
1
2
1
2
1
1
v
x
+
λ
−
λ
−
=
, 
2
2
1
2
4
1
4
1
2
1
1
v
x
+
λ
+
λ
−
=
; 
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
5
v
v
w
−
−
λ
+
λ
+
=
, 
2
1
2
1
2
4
1
4
5
2
1
11
v
v
w
+
−
λ
+
λ
+
=
. 
(7) 
Тогда базисное решение будет иметь вид: 
0
2
1
2
1
=
=
=
λ
=
λ
v
v
, 
11
,
5
,1
,1
2
1
2
1
=
=
=
=
w
w
x
x
. 
Здесь
0
,
0
2
2
1
1
=
=
=
=
v
p
v
p
; 
11
,
5
2
2
1
1
=
=
=
=
w
q
w
q
. 
Справедливы условия 
0
,
0
;
0
,
0
2
2
1
1
2
2
1
1
=
λ
=
λ
=
=
q
q
p
x
p
x
, 
0
,
,
0
,
,
0
,
,
0
,
2
1
2
1
2
1
2
1
≥
≥
≥
λ
λ
≥
q
q
p
p
x
x
. 
Так что 
(
)
(
)
0
,
0
,1
,1
,
,
,
0
2
0
1
0
2
0
1
=
λ
λ
x
x
является седловой точкой функции Лагранжа для исходной задачи; 
( )
1,
1
∗
x
— оптимальный план исходной задачи; 
3
min
−
=
q
; 
(
)
3
max
=
сж
R
.
Использование условий Куна-Таккера оказалось эффективным и в ряде других случаев, связанных с синтезом 
композиционных материалов со специальными свойствами, а также с задачами управления в эргатических системах 
[3…7]. 

---