|
Аксиомы алгебры логики
Переменные, рассматриваемые в алгебре логики, могут принимать только два значения ноль или единица. В алгебре логики определены:
отношение эквивалентности, обозначаемое знаком = ;
операция сложения (дизъюнкция), обозначаемая знаком + или ; операция умножения (конъюнкция), обозначаемая знаком & или * ;
операция отрицания (или инверсия), обозначаемая знаком надчеркивания или апострофом. Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:
x = 0, если х
|
1,
|
0 = 1,
|
x = 1, если х
1+ 1 = 1,
0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 =
|
0,
1,
|
1 = 0,
0 * 0 = 0,
1 * 1 = 1,
1 * 0 = 0 * 1 + 0.
|
Логические выражения
Логические выражения связывают значение логической функции со значениями логических переменных. Они могут записываться или в конъюнктивной или дизъюнктивной
нормальных формах. В дизъюнктивной форме логические выражения записываются как логическая сумма логических произведений, в конъюнктивной – как логическое произведение логических сумм. Порядок действий в логических выражениях такой же, как и в обычных алгебраических выражениях. Логические выражения связывают значение логической функции со значениями логических переменных.
Законы булевой алгебры
Они вытекают из аксиом и имеют две формы выражения: для конъюнкции и дизъюнкции. Эти законы используются при преобразованиях логических выражений.
Переместительный закон:
xy yx ;
x y y x ;
сочетательный закон:
x(yz) (xy)z xyz ;
x ( y z) (x y) x x y x ;
распределительный закон:
x(y z) xy xz ;
x yz (x y)(x z) ;
закон повторения:
х х х; х * х х;
закон обращения: если
x y , то
x y ;
закон двойной инверсии:
x х;
закон универсального множества:
х *1 х; х 11;
закон дополнительности:
xx 0 ; x x 1;
закон нулевого множества:
х * 0 0; х 0 х ;
закон поглощения: закон склеивания:
х х * y х; хy хy х;
(х y)(х y) x xy xy x ;
закон инверсии (закон Де Моргана):
Логические функции
xy x y ; x y xy .
Любое логическое выражение, составленное из nпеременных xn,,xn-1, …,x1c помощью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию n переменных, называемую логической. В соответствии с аксиомами алгебры логики функция может принимать в зависимости от значения переменных значение 0 или 1. Функция n логических переменных может быть определена для 2n значений переменных, соответствующих всем возможным значениям n-разрядных двоичных чисел.
Основной интерес представляют следующие функции двух переменных xи y( таблица 1):
f1( x, y) = x*y – логическое умножение,
f2( x, y) = x + y – логическое сложение,
f3(x,y) =
f4(x,y) =
f5(x,y) =
x * y – логическое умножение с инверсией,
x y – логическое сложение с инверсией,
x y xy xy xy xy – суммирование по модулю два или «Исключающее ИЛИ»,
f6(x,y) =
x y xy xy
– равнозначность.
Логические схемы
Физическое устройство, реализующее одну из операций алгебры логики или простейшую логическую функцию, называется логическим элементом. Схема, составленная из конечного числа логических элементов по определенным правилам, называется логической. Основным логическим функциям соответствуют выполняющие их схемные элементы. Например,
функции f1(x,y) соответствует логическая схема «И», функции f2(x,y) – логическая схема
«ИЛИ», функции f3(x,y) – логическая схема «И-НЕ», функции f4(x,y) – логическая схема
«ИЛИ-НЕ».
Таблица истинности
Так как область определения любой функции n переменных конечна (может принимать 2n значений), то такая функция может быть задана таблицей значений f(x), которые она принимает в точках xi, где i= 0,1, …, 2n-1. Такие таблицы называются таблицами истинности.
В табл. 1 представлены значения функций
f1(x,y), …, f6(x,y).
Т а б л и ц а 1.
i
|
Значения переменных
|
Функции
|
x
|
y
|
f1(x,y)
|
f2(x,y)
|
f3(x,y)
|
f4(x,y)
|
f5(x,y)
|
f6(x,y)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
3
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
В данной лабораторной работе согласно заданию требуется собрать схему из логических элементов типа: И-НЕ. Рассмотрим более подробно схематическое изображение и таблицу истинности данного логического элемента.
Элемент Шеффера И-НЕ( рис1.21,а). Реализуемая логическая функция может быть записана в виде:
С помощью такого логического элемента можно построить логические функции НЕ, И, ИЛИ (рис.1.18,б-г соответственно).
Элемент Пирса ИЛИ-НЕ. Логическая функция этого элемента может быть представлена в следующей форме:
Используя элемент ИЛИ-НЕ, также можно реализовать логические функции НЕ, И, ИЛИ. Логические элементы И-НЕ или ИЛИ-НЕ обладают свойством двойственности.
Действительно, заменяя в таблице истинности логического элемента И-НЕ (табл.1.12,а) символы 0 на 1 и, соответственно 1 на 0, получим табл.1.12,б. Сравнивая эту таблицу с таблицей истинности логического элемента ИЛИ-НЕ (табл.1.12,в), видим, что с точностью до перестановки строк они совпадают.
Примеры построения комбинационных устройств на универсальных логических элементах.
Рассмотрим прежде всего примеры построения комбинационных устройств на логических элементах И-НЕ.
Пример. Требуется построить устройство, реализующее логическую функцию вида:
При использовании логических элементов И-НЕ получим схему, приведённую на рис.1.23,а. Как видно из рисунка, логические элементы И- НЕ, охваченные штриховой линией, являются избыточными. В этой связи, применяя законы отрицания, преобразуем логическую функцию, исключив из неё операции ИЛИ. Имеем:
Схема, реализующая эту структурную формулу, приведена на рис.1.23,б.
Из рассмотренного примера видно, что при реализации логической функции на логических элементах И-НЕ целесообразно использовать представление этой функции в виде логической суммы (дизъюнктивной форме).
К микросхемам содержащим в своём составе логические элементы типа И-НЕ можно отнести:
К155ЛА1, КМ155ЛА1, К155ЛА2, КМ155ЛА2, К155ЛА3, КМ155ЛА3, К531ЛА2П, К155ЛА7, К531ЛА5, К555ЛА1, КМ555ЛА1, К555ЛА9, КМ555ЛА9, К561ЛА9.
Задание:
Согласно варианту собрать схему из логических элементов И-НЕ, реализовав её таким образом чтобы при входной комбинации 10011 на выходе схемы было состояние логическая 1(единица), а при изменении входного сигнала логический 0 (ноль).
Решение: Вариант № 19
Do'stlaringiz bilan baham: |
