Buxoro davlat universiteti qosimov f. M. Qosimova m. M

4. Pozitsion sanoq sistemalarida sonlar ustida amallar.
4-topshiriq: Hisoblang va natijani o’nli sanoq sistemasida yozing.
324₅ ∙ 42₅ + 213₅
Beshlik sanoq sistemasida qo’shish va kopaytirish jadvalini tuzamiz.

*	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	11	13
3	0	3	11	14	22
4	0	4	13	22	31

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	10
2	2	3	4	10	11
3	3	4	10	11	12
4	4	10	11	12	13

Bu jadvaldan foydalanib hisoblaymiz.

Endi 31031₅ sonining 10 lik sanoq sistemadagi yozuvini topamiz. 31031₅=3∙5⁴+1∙5³+0∙5²+3∙5+1=3∙625+

+125+15+1=1875+125+16=2016
5. Sonlarning bo’linishi.

5-topshiriq: Amallarni bajarmasdan quyidagi ifodalarni 6 ga bo’linish yoki bo’linmasligini ko’rsating:

а) 546+174+390
b) 546+174+380
c) 546+176+380
Yechish: Murakkab songa bo’linish belgisidan foydalanamiz.Bu uchun 6 sonini 2 va 3 tub ko’paytuvchilar ko’paytmasi shaklida yozamiz.Demak, son 6 ga bo’linishi uchun 2 va 3 ga bo’linishi etarli.

а) 546 6, chunki 546 2 (oxirgi raqami juft son bo’lgani uchun). 546 3 (raqamlar yig’indisi 3 ga bo’lingani uchun)

174 6 va 390 6 (xuddi yuqoridagi shartlarga ko’ra)
Demak: (546+174+390) 6
b)546 va 174 (а punktga asosan ) 6 ga bo’linadi.
380 soni 6 ga bo’linmaydi, chunki 380 soni 2 ga bo’linsa ham, 3 raqamiga bo’linmaydi. (raqamlar yig’indisi 3 ga bo’linmaydi).
Demak, 546+174+380 yig’indi ham 6 ga bo’linmaydi.
c) Berilgan yig’indida 546 6 (a punktga asosan)176va 380 sonlari esa 6 ga bo’linmaydi. Qo’shiluvchilardan bittasi 6 ga bo’linadi, ikkitasi esa bo’linmaydi bu holatda yig’indini topmasdan turib, uning 6ga bo’linish yoki bo’linmasligi to’g’risida hech narsa aytish mumkin emas.
6. Natural sonlar bo’linishini matematik induksiya metodi yordamida isbotlash.
6-topshiriq: n ning har qanday natural qiymatlarida n⁵-n ifoda 30 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish:
n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=(n-1)∙n∙(n+1)(n²+1)
Endi 30 ni tub ko’paytuvchilar ko’paytmasi shaklida yozamiz:
30=2∙3∙5
Agar n⁵-n soni 2 ga, 3ga va 5 ga bo’linishini isbotlasak,unda bu son 30 ga bo’linishini isbotlagan bo’lamiz.
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)
2ga bo’linadi, chunki ikkita ketma-ket kelgan natural sonlardan albatta bittasi juft demak bu son 2 ga bo’linadi.
3ga bo’linadi, chunki uchta ketma-ket kelgan natural sonlardan bittasi albatta 3ga bo’linadi.
Endi (n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1) ifodaning 5ga bo’linishini isbotlash qoldi. Natural sonlar to’plamini 5 ga qoldiqli bo’lish nuqtai nazaridan 5 ta sinfga ajratamiz:
1)5q shaklidagi sonlar, ya'ni 5 ga karrali sonlar.
2)5q+1 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 1 qoldiq qoladigan sonlar.
3)5q+2 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 2 qoldiq qoladigan sonlar.
4)5q+3 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 3 qoldiq qoladigan sonlar.
5)5q+4 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 4 qoldiq qoladigan sonlar.
n=5q bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q-1)5q(5q+1)∙(25q²+1)
Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi.
n=5q+1 bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=5q(5q+1)(5q+2)∙(25q²+10q+2)
Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi.

n=5q+2 bo’lganda

(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q+1)∙(5q+2)∙(5q+3)∙(25q²+20q+5)= =(5q+1)∙(5q+2)∙(5q+3)∙5(5q²+4q+1)
bunda ham ko’paytuvchilardan biri 5 ga bo’linadi, demak, ko’paytma ham 5 ga bo’linadi.
n=5q+3 bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q+2)∙(5q+3)∙(5q+4)∙(25q2+30q+10)=
(5q+2)∙(5q+3)∙(5q+4)∙5(5q²+6q+2)
bunda ham ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga bo’linadi.
n=5q+4 bo’lganda
(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q+3)∙(5q+4)∙(5q+5)∙(25q²+40q+17)=
(5q+3)∙(5q+4)∙5(q+1)∙(25q²+40q+17) bunda ham ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga bo’linadi.
Demak, n⁵-n 2ga, 3ga va 5ga bo’lingani uchun ifoda 30 ga bo’linadi.
Bu isbotlashni bajarishda to’la induktsiya metodidan foydalanildi.