Buxoro davlat universiteti qosimov f. M. Qosimova m. M

Eng kichik umumiy bo’linuvchini topish

48

1-teorema, a	va	b sonlarning har qanday umumiy
bo’linuvchilari	a  b	ga bo’linadi.
	(a.,b)

Natija. a va b sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi

	a  b	ga eng.
	(a, b)
Demak, a,b 			a  b	.
			(a,b)

Natija. Ikkita o’zaro tub sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi bu sonlarning ko’paytmasiga teng.

Haqiqatdan , (a, b) = 1 bo’lganda a, b	a  b	 ab bo’ladi. Shuni
	(a, b)

isbotlash talab etilgan edi.

2- teorema. Agar berilgan sonlarni qandaydir songa bo’lsak,

u holda ularning eng kichik umumiy karralisi o’sha songa

bo’linadi.
3- teorema. Agar berilgan sonlarni qandaydir uchinchi songa ko’paytirsak, bu holda bu sonlarning eng kichik umu-miy bo’linuvchisi ham shu songa ko’paytiriladi.

260		2	Ikki yoki bir necha sonlarning eng katta umumiy
			bo’luvchisi va eng kichik umumiy karralisini tub
130		2	ko’paytuvchilarga ajratib, topish mumkin. Buning
65		5	uchun har bir son tub ko’paytuvchilar ko’paytmasi
13		13	shaklida tasvirlanadi, eng katta umumiy bo’luvchini

topish uchun har bir songa ishtirok etuvchi umumiy bo’lgan tub ko’paytuvchilar olinib, ularning ko’paytmasi topiladi. Bu sonlarning eng kichik umumiy karralisini topish uchun shu sonlarning kamida birortasidagi ko’paytuvchi tub sonlarning eng yuqori darajalari ishtirok etgan barcha ko’paytuvchilar ko’paytirilib aniqlanadi.

Misol, 260;120;360 sonlarning EKUB va EKUKi topilsin:

49

1 260=2²∙5∙13
120=2³∙3∙5
360=2³∙3²∙5

EKUB(260;120;360)=2²∙5=20 EKUK(260;120;360)=2³∙3²∙5∙13=4680

Son tushunchasini kengaytirish

Natural sonlar va noldan tashqari kasr sonlar, butun sonlar, ratsional sonlar, irratsional sonlar, haqiqiy sonlar mavjud. Son tushunchasining kengayishi jarayonidagi

dastlabki to’plam natural sonlar to’plami N bo’ladi. Juda qadim zamonlarda paydo bo’lgan natural son tushunchasi ko’p

asrlar	120		2	360		2	davomida		kengaydi	va
							umumlashtirildi. Miqdorlarni
	60		2	180		2
aniqroq							o’lchashga		bo’lgan	talab
	30		2	90		2
musbat							kasr sonlar		tushunchasiga olib
	15		3	45		3
keldi.							Manfiy	sonlar tushunchasining
	5		5	15		3
paydo							bo’lishi	tenglamalarni		yechish
	1			5		5
va							nazariy		izlanishlar	bilan
				1
bog’liq. Manfiy							sonlarning		kiritilishi	bilan

butun sonlar to’plami Z da, hamda ratsional sonlar to’plami Q da nol soni teng huquqli songa aylandi. Bizning eramizgacha V asrda Pifagor maktabida musbat ratsional sonlar kesmalar uzunliklarini aniq o’lchash uchun yetarli emasligi aniqlangan va keyinroq bu muammo hal qilingandan keyin irratsional sonlar paydo bo’lgan. XVI asrda o’nli kasrlarning kiritilishi bilan haqiqiy sonlarga qadam qo’yildi. Haqiqiy sonlar tushunchasi sonlar qatorining oxirgisi emas.

50

Kasr tuhunchasi

Kasrlarning paydo bo’lish tarixi miqdorlarni o’lchash bilan bog’liq. Masalan, kesma uzunligini o’lchashda kasrlarning paydo bo’lishini aniqlaymiz. a kesma va e birlik kesma berilgan bo’lsin, bunda e kesma har biri e1 ga teng bo’lgan n ta kesma yig’indisi. Agar a kesma har biri e1 ga teng m ta kesmadan tuzilgan bo’lsa, uning uzunligi ^m_n e ko’rinishda

bo’lishi mumkin. ^m_n belgi kasr deyiladi. Unda m va n – natural

sonlar. Bu belgi quyidagicha o’qiladi: “n dan m”.

n kasrning maxraji, m kasrning surati.
Agar kasrning surati maxrajidan kichik bo’lsa, bunday kasrga to’g’ri kasr, agar kasrning surati maxrajidan katta yoki unga teng bo’lsa, bunday kasrga noto’g’ri kasr deyiladi.
Ta’rif: e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalovchi kasrlar teng kasrlar deyiladi. Masalan, ¹⁰₂ va ²⁰₄

kasrlar e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalaydi. Shuning uchun ular teng. ²⁰₄ = ¹⁰₂

m	va	p	kasrlar teng bo’lishi uchunm∙q=n∙p bo’lishi zarur
n		q

va yetarlidir.

Kasrning asosiy xossasi:
Agar berilgan kasrning surat va maxraji bir xil natural songa ko’paytirilsa yoki bo’linsa, berilgan kasrga teng kasr hosil bo’ladi.
Bu xossadan kasrlarni qisqartirish va umumiy maxrajga keltirish tushunchalari kelib chiqadi.
Kasrlarni qisqartirish – berilgan kasrni unga teng, lekin surat va maxraji undan kichik bo’lgan kasrga almashtirishdir. Masalan, ¹²₂₄  ¹₂ .

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kasrlarni ularga teng, lekin bir xil maxrajli kasrlarga almashtirishdir.

51

Musbat ratsional son – bu teng kasrlar to’plamidir. Bu to’plamga tegishli har bir kasr shu sonning yozuvidir. Masalan, ⁴₃ , ⁸₆ , ¹²₉ , ¹⁶₁₂ ... sonlar to’plami biror musbat ratsional

sondir ( ⁴₃ ).

Har qanday musbat ratsional son uchun shu sonning yozuvi bo’lgan bitta va faqat bitta qisqarmas kasr mavjud. Musbat ratsional sonlar to’plamida:

1. 
   Eng kichik son yo’q.
   

2. 
   Ixtiyoriy ikkita ratsional son orasida Q ning cheksiz ko’p soni bor, ya’ni ratsonal sonlar to’plami o’zida zich to’plam.
   

Kasrlar ustida amallar

Ta’rif: Agar a va b musbat ratsional sonlar ^m_n va _n^p kasrlar bilan ifodalangan bo’lsa, u holda a va b sonlarning

yig’indisi deb,

13. 
    _ p _ m  p
    

n nn

m  p	kasr bilan ifodalangan songa aytiladi:
n

Turli maxrajli kasrlarni qo’shish uchun umumiy maxrajga keltirib, yuqoridagi ta’rifdan foydalanib yig’indi topiladi. Musbat ratsional sonlarni qo’shish o’rin almashtirish va gruppalash qonunlariga bo’ysunadi.

Ta’rif: a va b musbat ratsional sonlarning ayirmasi deb, shunday c musbat ratsional soniga aytiladiki, uning uchun a=b+c o’rinli.
Ushbu ta’rifni quyidagicha berish mumkin.
Ta’rif: Agar a va b musbat ratsional sonlar ^m_n va _n^p kasrlar bilan ifodalangan bo’lsa, u holda a va b sonlarning

ayirmasi deb,

^m_n  _n^p  ^m _n^{ p}

m  p	kasr bilan ifodalangan songa aytiladi:
n

52

Ta’rif: Agar a va b musbat ratsional sonlar ^m_n va _q^p kasrlar bilan ifodalangan bo’lsa, u holda a va b sonlarning

ko’paytmasi deb,	m  p	kasr bilan ifodalangan songa aytiladi:
	n  q

13. 
    _ p _ m  p
    

qn  qn

Ta’rif: a va b musbat ratsional sonlarning bo’linmasi deb, shunday c musbat ratsional soniga aytiladiki, uning uchun a=b∙c o’rinli.

Ikki musbat ratsional sonning bo’linmasi

m	:	p		m  q
n		q		n  p

formula bo’yicha topiladi.