Bul algebrasi va ventillar. Kompyuterning elementi hisoblangan raqamli sxema yordamida

Bul algebrasi va ventillar.

Kompyuterning elementi hisoblangan – raqamli sxema yordamida

o‘zgaruvchilari va qiymati ikkita mantiqiy qiymatdan birini qabul qilishi mumkin bo‘lgan funksiyalar amalga oshiriladi. Bunday funksiyalar Bul funksiyalari deb ataladi. Ushbu funksiyalar va ularni qo‘llash qoidalari in-gliz matematiki Djordj Bul (1815-1864) nomi bilan yuritiladigan Bul al-gebrasida ishlab chiqilgan. Kompyuter arxitektursasining raqamli mantiqiy sathi elementlarini loyihalashda, Bul algebrasi koidalaridan foydalaniladi.
Hozirgi kompyuter sxemalarini tashkil qiluvchi va Bul alge-
brasining oddiy funksiyalari hisoblangan, mantiqiy ko‘paytirish – И
(AND), mantiqiy qo‘shish – ИЛИ (OR) va inkorlash – НЕ (NOT)
funksiyalarini bajaruvchi elementlar va ularning haqiqat jadvallari keltirilgan.

Bu elementlarni, o‘zbek tilida mos holda VA, HAM va EMAS deb

atash mumkin. Biz ularni va boshqa shu kabi elementlarni rus va ingliz tillaridagi nomlaridan foydalanamiz. yuqori qismida element-
larning Amerika standartidagi, pastki qismida esa Rossiya standartidagi ko‘rinishlari keltirilgan.
Ushbu sxemalarning kirishiga 0 yoki 1 ga teng bo‘lgan mantiqiy
o‘zgaruvchilar beriladi, ularning chiqishida esa, yana o‘sha mantiqiy
qiymatlarni qabul qila olishi mumkin bo‘lgan funksiyalarning, ya’ni Bulfunksiyalarining qiymatlari olinadi. Sxemalarda mantiqiy qiymatlar ma’lum bir kattalikdagi kuchlanishlar bilan ifodalanadi. Odatda mantiqiy 0-ga 0 dan 1V-gacha bo‘lgan kuchlanish, mantiqiy 1-ga esa 2 dan 5V-gacha bo‘lgan kuchlanishlar mos keladi. TTL va ESL texnologiyalarida mantiqiy 1-ga to‘g‘ri keladigan kuchlanishning maksimal qiymati 5V,
MOP texnologiyasida esa +3,3V bo‘lishi mumkin.
Yuqoridagi va keying rasmlarda keltirilgan oddiy mantiqiy
funksiyalarni amalga oshiruvchi juda kichik elektron qurilmalar – ventillar deb ataladi. Ventillar – tranzistorlar asosida quriladi. Barcha zamonaviy mantiq, ya’ni mantiqiy sxemalarni qurish binar uzgich-ulagich sifatida ishlay oladigan tranzistorlarga asoslanadi. Tranzistor yordamida,ikkita qiymatga ega signallardan turli xil Bul funksiyalarini amalga oshir-uvchi raqamli sxemalarni hosil qilish mumkin. Kompyuterlarni qurishdaishlatilgan kichik mikrosxemalardan tortib, to katta va o‘ta katta inte-gratsiyadagi mikrosxemalar hisoblangan turli xildagi protsessorlar ham raqamli sxemalardan tashkil topgandir. Shuning uchun kompyuterlarprotsessorlarining ko‘rsatgichlaridan biri sifatida, ularning tarkibida ish-latilgan tranzistorlar sonidan ham foydalaniladi. Masalan: biz ushbu qo‘llanmada ko‘rib chiqadigan 8 razryadli protsessor Intel 8080 protsessori tarkibida 6 mingta, 16 razryadli protsessor Intel 8088 tarkibida 29 mingta va 32-razryadli protsessor Pentium 4 protsessori tarkibida esa 42 millionta tranzistor ishlatilgan. Keltirilgan НЕ (NOT) – inkorlash amalini bajaruvchi elementning sxemasi tarkibida, bipolyar tranzistor qo‘llanilgan. Tranzistor tashqi muhit bilan bog‘lana oldigan uchta ulanish nuqtalariga ega, ular kollektor, baza va emitter deb nomlanadi . Agar Vin kirish kuchlanishi, ya’ni tranzistorning bazasidagi kuchlanish ma’lum bir kritik qiymatdan kichik bo‘lsa, tranzistorda uzilish sodir bo‘ladi va u juda katta qiymatga ega qarshilik sifatida ishlaydi. Kritik qiymat deganda – mantiqiy 1-ga to‘g‘ri keladigan kuchlanishdan kichikroq bo‘lgan kuchlanishning qiymati tushuniladi. Bunda tranzistorning kollektoriga berilayotgan +Vcc kuchlanishi natijasida hosil bo‘lgan tok, tranzistor orqali uning emitteriga o‘ta olmaydi. Natijada sxema uchun chiqish signali hisoblangan Vout kuchlanishining qiymati, +Vcc kuchlanishining qiymatiga yaqin qiymatga teng bo‘ladi. Ushbu xildagi tranzistorlar uchun odatda +Vcc = 5V.
Mulohazalar va ular ustida bajariladigan mantiqiy amallar birgalikda mulohazalar algebrasi deb yuritiladi. Mulohazalar algebrasining asosiy vazifalaridan biri har qanday murakkab mulohazalarning rost yoki yolg’onligini isbotlashdan iborat. Lekin berilgan murakkab mulohazadagi sodda mulohazalar va ularni bog’lovchi mantiq amallar ortgan sari mazkur mulohazaning rostlik jadvalini tuzish qiyinlasha boradi. Bu qiyinchilikni bartaraf etish uchun mulohazalar algebrasining formulasi va o’zaro teng kuchli formulalar tushunchalarini kiritiramiz.
X,Y,Z, … lar mulohazalar algebrasining formulalaridir.Agar X va Y mulohazalar algebrasining formulalari bo’lsa, u holda ù X, XÙY, XÚY, XÞY va XÛY lar ham formula bo’ladi. Mulohazalar algebrasi yuqoridagilardan boshqa formulalarga ega emas. Ko’p hollarda ù X, XÙY, XÚY, XÞY va XÛY lar orqali aniqlangan formulalr murakkab formulalar deb yuritiladi.
Mantiqiy funksiyaning rostlik qiymati {1, 0} to’plam elеmеntlaridan iborat. Aniqlanish va o’zgarish sohalari {1, 0} to’plamdan iborat bo’lgan funksiyalarga Bul funksiyaslari dеyiladi (D. Bul – angliyalik mashhur mantiqchi va matеmatik).
Bul funksiyasi
Djordj Bul 1815 yil 2 noyabr kuni Angliyaning Linkoln shahrida ilm bilan shug’ullanuvchi Djon Bul oilasida tavallud topgan. Dastlabki ilm saboqlarini otasi Djon Buldan olgan. O’n olti yoshida Donkasterdagi hususiy maktab o’qituvchisi yordamchisi sifatida faoliyatini boshlagan Djordj Bul butun hayoti davomida turli lavozimlarda o’qituvchilik qildi. Asosiy ish joyi Kork qirolligi kolleji.Uning ilmiy maqolalarining 22 tasi «Kembridjning matematik jurnal»i va «Kembridj va dublin matematik jurnal»ida, 16 tasi «Falsafiy jurnal»i (Philosophical Magazine) chop etilgan, 6 memuarlari, bir qator izlanish natijalari boshqa jurnallarda (Transactions of the Royal Society of Edinburgh and of the Royal Irish Academy), S.-Peterburg akademiyasining «Vestnik» va Krell jurnallarida, «Jurnalda mehanika» jurnallarida chop etilgan. Umumiy olganda Bul tomonidan 50 dan ortiq ilmiy maqolalar va birnechta monografiyalar chop ettirilgan.
Djordj Bul 49 yoshida 1864 yil 8 dekabr kuni Irlandiyaning Ballintempl shahrida olamdan o’tgan.

Axborot almashish: kodlash va dekodlash jarayonlarida keng qo’llaniladigan funksiyalardan biri - Bul funksiyasi hisoblanadi.

Bul funksiyasi – argumenti hamda unga mos funksiyasi ikki elementli to’plam {0,1} ga tegishli qiymatni qabul qiluvchi funksiyadir. Bu to’plamni bir elementli darajaga tushirib bo’lmaydi, chunki funksiya tushunchasiga zid bo’ladi. Shunday qilib Bul funksiyasi funksiyalar ierarxiyasining eng birinchi qatlamini egallaydi.

1-ta'rif: {0,1} to’plam qiymatini qabul qiluvchi x o’zgaruvchi bul (mantiqiy, ikkilik) o’zgaruvchisi deyiladi. Ikkilik o’zgaruvchilar ikkilik sanoq sistemasida ma'lumotlarni uzatishda foydalaniladi.

2-ta'rif: bul o’zgaruvchisi orqali aniqlanuvchi hamda {0,1} to’plam qiymatini qabul qiluvchi funksiya Bul funksiyasi deyiladi.

Agar F funksiya x1,x2,...,xn ga bog’liq bo’lsa, u holda F=F(x1,x2,...,xn) bo’ladi.

Aniqlanish sohasi chekli bo’lganligi uchun bul funksiyasini quyidagi jadval ko’rinishida berish qulaydir:

х1,х2,...,хn

F(х1,х2,...,хn )
00. . . 00
F(0, 0, . . . , 0,0)
F(0,0, . . ., 0,1)
00 . . 10
F(0, 0, . . ., 1, 0)

11 . . . 11

F(1, 1, . . ., 1,1)

Bundan keyin ikkilik vektorlar leksik – grafik tartibda, ya'ni o’sish tartibida yozilgan deb hisoblaymiz.

Barcha n o’zgaruvchili Bul funksiyalar to’plami belgilashni kiritamiz, u holda degan tasdiq o’rinli bo’ladi.

Demak, n-o’zgaruvchilarning Bul funksiyasi x1,x2,...,xn argumentlarining qiymatlarini chekli B to’plamdan qabul qilsin. Bu argumentlar o’zaro va ma'lum miqdordagi Bul amallari bilan bog’langan bo’lib, funksiyaning o’zi (argumentlar kabi) B={0,1} to’plamdan qiymatlar qabul qiladi. n-o’zgaruvchilarning Bul funktsiyasini f(x1,x2,...,xn) ko’rinishida yozamiz.

Birlashtirish, ko’paytirish va inkor qilish amallarini bajarish mumkin. Buning uchun bitta va ikkita argument uchun mumkin bo’lgan funktsiyani aniqlash lozim. Ikkala Bul funksiyasining umumiy sonini aniqlash formulasi argumentlarning soniga bog’liq qolda quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

N=22n
Bu yerda, N-Bul funksiyalar soni, n- argumentlar soni.

Bu formuladan bitta argument uchun to’rtta Bul funktsiyasi mavjudligi kelib chiqadi: y=x takrorlash funksiyasi, y= inkor funksiyasi, y=1 birlik konstanta, y=0 nol konstantasi deyiladi.

Bul algebrasi qonunlari, konyunksiya va dizyunksiya amallari uchun:

1. Kommutativlik qonuni: х1Λх2=х2Λх1 х1Vх2=х2Vх1

2. Assotsiativlik qonuni: х1Λ(х2Λх3)=х1Λх2Λх3

х1V(х2Vх3)=(х1Vх2)Vх3=х1Vх2Vх3

3. Idempotentlik (tavtologiya) qonuni: хΛх=х хVх=х

4. Aylantirish qonuni: agar х1=х2bo’lsa,u holda = bo’ladi.

5. Ikki marta inkor qonuni:=х

6. Bo’sh to’plam qonuni

7. Universalto’plamqonuni: хΛ1=х хV1=1

8. To’ldirish qonuni: хΛ=0 хV=1
9. Taqsimot qonuni: х1Λ(х2Vх3)=х1Λх2Vх1Λ х3
х1V(х2Λх3)=(х1Vх2)Λ(х1Vх3)
10. Yutilish qonuni: х1Vх1Λх2=х1 х1Λ(х1Vх2 )=х1
11. Birlashish (yopilish) qonuni: (х1Vх2)Λ(х1V)=х1 х1Λх2Vх1Λ=х1
12. Ikkiyoqlamalik (Dе-Mоrgаn) qonuni: =V =Λ
yoki chap va o’ng tomonlarni inversiyasidan keyin
Masalan, Dе-Mоrgаn qonuni =V jadval ko’rinishida isboti quyidagicha: