Bugungi o’ta tezkor rivojlanish va taraqqiyot sharoitida mustaqil O’zbekiston o’zining buyuk kelajagini bilimli, aqlli, mehnatsevar, jasur, ma’naviyati yuksak, jismonan kuchli bo’lgan yosh avlod timsolida ko’radi

18-misol. .
Bu maxsus Rikkati tenglamasi ( ) bo‘lganligi uchun butun son bo‘ladi. Shunga binoan, uni kvadraturalarga keltirish mumkin. Berilgan tenglamada deb olib, tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglamani o‘zgaruvchilarga ajratib integrallaymiz:
.
So‘ngra eski o‘zgaruvchilarga qaytamiz:
.
19-misol.
(2.3.5)
Bu yerda . Demak, qaralayotgan tenglama yuqoridagi tenglamalarda bajarilgan almashtirishlar kabi almashtirishlarni bajarish natijasida hosil bo‘lgan tenglama ekan, ya’ni tegishli almashtirishlarni teskari tartibda bajarish kerak. Shunday qilib,
.
Bu tengliklardan kelib chiqadi. Bundan ko‘rinadiki,
(2.2.6)
tenglamada

formulalar bo‘yicha almashtirishlar natijasida

tenglama, ya’ni bizga berilgan dastlabki (2.2.5) tenglama hosil bo‘ladi.
(2.2.6) tenglamani yechib, topamiz:

ya’ni
.
Dastlabki tenglamada bilan funksiya, bilan argument belgilanganligi uchun mazkur tenglamaning umumiy integrali

ko‘rinishda topiladi.


20-misol.
Tenglamani kononik ko‘rinishga keltiramiz. Avvalo o‘rniga qo‘yish yordamida ning oldidagi koeffitsientning 1 ga teng bo‘lishiga erishamiz:
, (2.2.7)
bundan . Shuning uchun (2.2.7) dan kelib chiqadi. So‘ngra almashtirish bilan oxirgi tenglamani shunday o‘zgartiramizki, natijada

tenglamada izlanayotgan funksiyaning birinchi darajasi qatnashmasin. Buning uchun deb olinsa, u holda Rikkati kononik tenglamasi hosil bo‘ladi: . Bu tenglamada umumiy yechimga ega. Shunday qilib, dastlabki berilgan tenglamaning umumiy yechimi:
.
21-misol. Rikkati tenglamasining umumiy yechimini uning uchta turli yechimlari yordamida yozing.
Agar Rikkati tenglamasining bitta xususiy echimi ma’lum bo‘lsa, u holda uning umumiy yechimi

ko‘rinishda bo‘ladi, bu erda mos chiziqli tenglamaning umumiy yechimi. Ma’lumki,chiziqli tenglamaning umumiy yechimi ikkita funksiya yordamida yoziladi:
.
Shuning uchun Rikkati tenglamasining umumiy yechimi
(2.2.8)
ko‘rinishda tasvirlanadi. Endi va - qaralayotgan Rikkati tenglamasining xususiy yechimlari bo‘lsin. U holda (2.2.8) dan kelib chiqadi:
(1.2.9)
Bu yerda va xususiy yechimlarga mos ravishda va ( ) bilan belgilangan. (2.2.9) tenglamalar sistemasini va ga nisbatan yechib va ularning qiymatlarini (2.2.8) ga qo‘yib, topamiz:
,
bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmas son.
XULOSA
Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda. Barcha kurslardagi singari “Oddiy differensial tenglamalar” kursini o’qib, o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, matematik analiz kursida funksiya va uning limitini hisoblashda ham imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan maqsad esa funksiya va uning limitini hisoblashda fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib funksiya va uning limitini hisoblashda ularni qo’llashdan iborat.
Kurs ishida chiziqli Bernulli va Rikatti tenglamalari o’rganildi.
Birinchi bоbda differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar, ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli va ularni yechish usullari misollar orqali o’rganildi.
Ikkinchi bоbda Bernulli va Rikatti tenglamalari va misollar yechilgan.
Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ulardan differentsial tenglamalar va matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan masalalarni yechishda fоydalanish mumkin.