Bubnov-Galerkin metodı

---

Bubnov-Galerkin metodı 
Variatsion usıllar birpara funksionallardıń ekstremal qásiyetlerinen 
paydalanıwǵa tiykarlanǵan máselelerdi anıq hám shamalıq tarqatıp alıw usılları dep 
ataladı. Bul erda biz tuwrıdan-tuwrı variatsion principden paydalanıwǵa 
tiykarlanmagan bolsada, Ritz usılı dep atalǵan usıldı hám oǵan jaqın bolǵan Bubnov 
usılın kórip shıǵamız. 
Áwele teń salmaqlılıq jaǵdayı daǵı elastik deneler ushın variatsion principti 
kiritemiz. Berilgen dem alıw jaǵdayınan ótken birpara haqıyqıy process ushın ıssılıq 
aǵımınıń teńlemesin kórip shıǵıń : 
Bul teńleme elastik dene degi hár qanday real process ushın ámel etedi. Biraq, 
bul ulıwmalaw xarakterge iye. Yaǵnıy, biz qashannan berli 2-bólimde etkenimizdek, 
jaǵday keńisliksiniń málim bir noqatınan ótip, málim bir elastik dene ushın " 
múmkin bolǵan jılısıwlar" rolin atqaratuǵın hár qıylı teń salmaqlılıq processleri 
kompleksin kórip shıǵıwımız múmkin. Usınıń menen birge, bul " múmkin" 
processler (9. 1) teńlemege kiritilmegen sırtqı kúshler, sırtqı ıssılıq aǵımı hám basqa 
sırtqı faktorlar málim tańlawı menen ámel etiwi múmkin. Sol sebepli, eger biz 
intellektual tárepten anıqlanǵan múmkin bolǵan sheksiz kishi jılısıwlar (yaǵnıy 
geometriyalıq sheklewler menen ruxsat etilgen qosımsha jılısıwlar ) kompleksin 
δω_i menen belgilesak, tiyisli qosımsha deformatsiyalar 
Hám F hám T arqalı erkin energiya hám temperaturanıń múmkin bolǵan 
ósiwi, keyin bizde boladı 

---

V kóleminiń bólek elementleri ushın δ (ρdτ) = 0 teńlik tuwrı ekenligin esapqa 
alıp, v denesiniń kólemi bolǵan δ∫ρFdτ jismning ulıwma erkin energiyasınıń 
ózgeriwin esaplaymiz. Bizde tómendegi bar 
Bunnan tısqarı, δω_i (x1, x2, x3) jılısıwlarınıń ózgerisleri koordinatalardıń 
úzliksiz differentsial funktsiyaları dep qabıl etemiz; bul hám simmetriya ózgesheligi 
járdeminde pji = pij járdeminde integrallardıń birinshisin ońǵa ózgertiremiz 
Transformaciyanı ámelge asırıp atırǵanda (3) jazıw qabıl etiledi 
Haqıyqıy zorıǵıw jaǵdayı ushın, mayısqaq deneni teń salmaqlılıq (dem alıw ) 
sharayatında jazıw múmkin 

---

Kerisinshe, (4) hám (2) den, ózgeriwdi (3) hám δ (ρdτ) = 0 shártidan 
paydalanıp, múmkin bolǵan δω_ jılısıwlardıń óz basımshalıqlarına tıykarlanıp, biz 
differentsial teń salmaqlılıq teńlemelerin hám stressler ushın shegara shártlerin 
alıwımız múmkin. Usı mánisten alıp qaraǵanda (4) teńleme teń salmaqlılıq 
teńlemeleri hám shegara shártleri sistemasına teń dep aytiwimız múmkin. Eger 
jılısıwlarda shegara shártleri ámeldegi bolsa, ol jaǵdayda olar qosımsha túrde esapqa 
alınıwı kerek. 
Aldınǵı juwmaqlar hám teńleme (4) da Guk nızamı qatnasıwındaǵı mayda 
deformatsiyalar teoriyası sheńberinde, de baslanǵısh jaǵdaydan sheklengen 
shtammlar hám jılısıwlar menen ulıwma elastiklik teoriyası sheńberinde ámel etedi. 
Sırtqı ǵalabalıq kúshler bolmaǵan jaǵdaydı bólek kórip shıǵayıq, 
Ózgeriwshenlik principi. Sonlıqtan, massa kúshleri bolmaǵan teń 
salmaqlılıqta haqıyqıy jılısıwlar ω (6 ) hám (7^') shártlerdi qandiruvchi ω + δω_ 
barlıq basqa jılısıwlar menen salıstırǵanda elastik jismning ulıwma erkin 
energiyasınıń ekstremumın jetkizip beredi. Denediń bólek bólimleriniń erkin 
energiyası, hátte bul arnawlı shártler ∑ de orınlanǵan táǵdirde de, teń salmaqlılıq 
jaǵdayında ekstremumǵa erise almasligini aytymiz hám aytymiz. 
Eger elastik dene Xuk nızamına bo'ysunsa hám F ni barlıq izotermik 
processler ushın rzda oń anıq kvadratik forma dep esaplaw múmkin bolsa, ol halda 

---

c T = T0 = const, ol halda (8) shárt minimal dárejedegi shártga aylanadı. teń 
salmaqlılıq jaǵdayı daǵı ulıwma erkin energiya. 
Eger δω_ dıń ózgerisleri pútkilley óz basımshalıq menen (shegara daǵı zárúrli 
shártlerdi qandırıw ) bolsa, ol jaǵdayda alınǵan eritpe anıq bo'lar edi, sebebi 
variatsion princip teń salmaqlılıq teńlemeleri sistemasına hám stressler ushın 
shegara shártlerine tolıq teń bolıp tabıladı. Bunday halda, ekstremum shárti tek 
birpara δω_ ga salıstırǵanda qandiriladi, sol sebepli alınǵan eritpe shamalıq 
esaplanadı. Biraq, eger w (s) funktsiyalar sisteması tolıq sistema bolsa, yaǵnıy bul 
klasstaǵı qandayda bir funktsiya, atap aytqanda, δω_ (x, y, z), hár qanday anıqlıq 
menen bulardıń sızıqlı birikpesi retinde shama menen ańlatılıwı múmkin. 
funktsiyalar sisteması, sol sebepli (9 ) de etarli muǵdardaǵı atamalardı alǵan halda, 
ulıwma aytqanda, anıqına júdá jaqın bolǵan sheshimdi alıw múmkin. 
Hár qanday N ushın teńlemeler sistemasın (11) echgandan keyin, N 
→∞chegarasida sol tárzde alıw máselesi anıq sheshim tekǵana w (s) funktsiyalar 
sistemasınıń tolıqlıǵı, bálki jaqınlashuvi menen de baylanıslı (9 ). 
Elliptik kesmaning cilindrsimon sterjendiń burıw máselesin Rits usılı menen 
sheshiw. Rits usılınan paydalanıwǵa mısal etip, elliptik kesmaning cilindrsimon 
sterjeniniń burıw mashqalasın (1-súwret) úshlerinde qollanılatuǵın momentler 
menen sheshiwdi kórip shıǵamız. 
Bubnov-Galerkin 
usılı. 
Endi 
Bubnov-Galerkin 
usılın 
qısqasha 
xarakteristikalap beremiz. Bul usıl (8) forma daǵı birpara funksiyalardıń 
ekstremalini tabıw mashqalası menen tikkeley baylanıslı emes hám qaytarıp 
bolmaytuǵın hádiyseler menen baylanıslı máselelerde qollanılıwı múmkin. 
Birpara differentsial teńlemeler, mısalı, jabısatuǵın suyıqlıq háreketi teoriyası 
teńlemeleri yamasa elastik jismning málim shegara sharayatında háreketleniw 
teńlemeleri sheshimin tabıw talap etińsin. Kóshiriwde háreket teńlemeleri 
tómendegishe jazılıwı múmkin 

---

Bul erda L birpara operatorlar. Mısalı, Xuk nızamına boysunatuǵın izotrop 
elastik jismning izotermik teń salmaqlılıqı ushın biz Lame sızıqlı teńlemelerine 
egamiz hám 
Bul jerde w (s) tolıqlıq ózgeshelikine iye bolǵan málim funktsiyalar sisteması 
bolıp tabıladı. Sonnan keyin, w (s) funktsiyaların tańlaw shegara shártlerin aldınan 
qandırıwǵa eristi dep shama etemiz. Biz (15) formulanı (14) teńlemelerge 
almastıramız, nátiyjeni w (s) funktsiyalardıń hár birine ko'paytiramiz hám kórip 
shıǵılıp atırǵan elastik jismning pútkil v kólemi boyınsha birlestiremiz. Biz 
tómendegi teńlemeler sistemasın alamız : 
L (w) endi koordinatalardıń málim funktsiyası hám (Guk nızamı bar 
ekenliginde) as dıń sızıqlı funktsiyası bolǵanı ushın (16 ) teńlik algebraik teńlemeler 
sistemasın ańlatadı hám, itimal, birpara parametrlerdi eriwsheńlik jaǵdayınan. 
sistema ushın (16 ). Endi biz sistemanı (16 ) qandırıw ushın as ni anıqlaymız. 
Soraw tuwıladı : (15) hám (16 ) den alınǵan w funktsiyaları qaysı mániste 
máseleniń shamalıq sheshimin ańlatadı? Eger w (s) funktsiyalardıń tolıq sisteması 
bolsa, ol jaǵdayda w (s) funktsiyalardıń etarlicha kópligi ushın (16 ) teńliklerden 
aldınan anıqlanǵan anıqlıq dárejesi kelip shıǵadı 
Bubnov-Galerkin usılın elastiklik teoriyasınıń dinamikalıq máselelerinde 
qóllaw múmkin. Bunnan tısqarı, eger integraciya v keńislikdegi kóleminde ámelge 
asırılsa, ol halda (16 ) teńlemeler bir ǵárezsiz ózgeriwshige iye bolǵan t waqıtqa iye 
bolǵan ápiwayı differentsial teńlemeler sistemasın ańlatadı. 

---

 Bubnov-Galerkin usılına tuwrı keletuǵın shamalıq usıldan paydalanıw, 
ortalıq iyelegen regiondaǵı ǵárezsiz ózgeriwshilerdiń tek bir bólegi boyınsha 
integraciyalashganda, ǵárezsiz argumentlar sanın azaytadı. Bul usıl matematikalıq 
mashqalalardi sezilerli dárejede ápiwayılastırıwǵa alıp keledi. Bunday 
ápiwayılastırıwlar kóbinese ámeliyatda tayaqshalar, plitalar, shıǵanaqlar 
teoriyasında, gidravlikada hám basqalarda qollanıladı. 
Differensial teńlemelerdi háreket hám jaǵday qásiyetleriniń bólistiriwiniń 
shama menen berilgen nızamları ushın, mısalı, impuls, múyesh impulsi hám 
energiyanıń global teńlemeleri sıyaqlı integral munasábetler menen almastırıw, bul 
Bubnov-Galerkin usılınıń ayriqsha usılı bolıp tabıladı.