Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral

6-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► almashtirishlarni bajaramiz:

.◄
7-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► deb almashtiramiz.

.◄
8-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► Bunday keyin har qanday almashtirishlarni vertikal chiziqlar orasida berib ketamiz.




.◄
Bo‘laklab integrallash usuliquyidagi formulaga asolangan:

,

bu yerda va - differensiallanvchi funksiyalar. Bu formula bo‘laklab integrallash formulasideyiladi. Bo‘laklab integrallash formulasi ko‘pincha quyidagi ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashda ishlatiladi:

Bu integrallarni hisoblashda, 1 – turdagi integrallarda u uchun p(x) ko‘phad, qolgan qismi dv uchun olinib, 2 - turdagi integrallarda u uchun mos ravishda arctgx, arcctgx, arcsinx, arccosx va lnxlar, qolgan qismi dv uchun olinadi.

9-misol

Ushbu integralni hisoblang.

►Bu 1-turdagi integral bo‘lgani uchun quyidagicha bo‘laklab integrallaymiz:

.◄
10-misol

Ushbu integralni hisoblang.

►

.◄

Bo‘laklab integrallash qoidasini bir necha marta qo‘llash mumkin.

11-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► Bu yerda ikki marta bo‘laklab integrallash qoidasi qo‘llanadi:



◄

Ayrim integralni ikki marta bo‘laklab integrallansa o‘z iga qaytib keladi. Bu holda integralni noma’lum sifatida qarab, tenglama yechiladi.

12-misol

Ushbu integralni hisoblang.

►



.

Oxirgi integralni chap tomonga o‘ tkazamiz

.

Demak,

.◄

Ko‘pincha bo‘laklashni vertikal chiziqlar orasida bermay, integral ostida ham bajarish mumkin. Buning uchun biror funksiyani differensial octiga kiritiladi va bu differensialni dv sifatida qaraladi.

13-misol
Ushbu integralni hisoblang.

► ◄

Ayrim misollarda differensial funksiya dv oshkor ko‘rinishda bo‘lmasligi mumkin.