Boshlang’ich funksiya. Aniqmas integral. Integrallashning asosiy formulalari. Integrallash qoidalari. Integrallashning oddiy usullari. Bevosita integrallash. O’zgaruvchilarni almashtirish usullari

4-misol
Ushbu integralni hisoblang.
►
◄
5-misol
Ushbu integralni hisoblang.
► .◄

Yuqorida biz biror ifodani differensial ostiga kiritib, yoddan bu ifodani u deb almashtirib bevosita integrallashusulidan foydalandik.

Bu yerda deb almashtirish olinib, u yangi o‘zgaruvchili integral ko‘rinishga keltirilgan bo‘ladi.
Agar , deb almastirsak, integralni hosil qilamiz. Bu o‘z garuvchini almashtirish usulideyiladi.
6-misol
Ushbu integralni hisoblang.
► almashtirishlarni bajaramiz:
.◄


7-misol
Ushbu integralni hisoblang.
► deb almashtiramiz.
.◄


8-misol
Ushbu integralni hisoblang.
► Bunday keyin har qanday almashtirishlarni vertikal chiziqlar orasida berib ketamiz.




.◄


Bo‘laklab integrallash usuliquyidagi formulaga asolangan:
,
bu yerda va - differensiallanvchi funksiyalar. Bu formula bo‘laklab integrallash formulasideyiladi. Bo‘laklab integrallash formulasi ko‘pincha quyidagi ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashda ishlatiladi:

Bu integrallarni hisoblashda, 1 – turdagi integrallarda u uchun p(x) ko‘phad, qolgan qismi dv uchun olinib, 2 - turdagi integrallarda u uchun mos ravishda arctgx, arcctgx, arcsinx, arccosx va lnxlar, qolgan qismi dv uchun olinadi.
9-misol
Ushbu integralni hisoblang.
►Bu 1-turdagi integral bo‘lgani uchun quyidagicha bo‘laklab integrallaymiz:
.◄


10-misol
Ushbu integralni hisoblang.
►
.◄
Bo‘laklab integrallash qoidasini bir necha marta qo‘llash mumkin.
11-misol
Ushbu integralni hisoblang.
► Bu yerda ikki marta bo‘laklab integrallash qoidasi qo‘llanadi:






◄
Ayrim integralni ikki marta bo‘laklab integrallansa o‘z iga qaytib keladi. Bu holda integralni noma’lum sifatida qarab, tenglama yechiladi.


12-misol
Ushbu integralni hisoblang.
►

.
Oxirgi integralni chap tomonga o‘ tkazamiz
.
Demak,
.◄

Ko‘pincha bo‘laklashni vertikal chiziqlar orasida bermay, integral ostida ham bajarish mumkin. Buning uchun biror funksiyani differensial octiga kiritiladi va bu differensialni dv sifatida qaraladi.

13-misol

Ushbu integralni hisoblang.

► ◄
Ayrim misollarda differensial funksiya dv oshkor ko‘rinishda bo‘lmasligi mumkin.