Book · September 018 citations reads 15,623 authors

2-xulosa.
Oldindan hisoblangan 
y
i
yechimdan foydalanib 
y
i
+1
toʻr 
yechimni topish uchun quyidagi geometrik shakl yasashlarni bajarish lo-
zim: 
a) 
x
i
tugun orqali ordinata oʻqiga parallel 
l
(
i
)
toʻgʻri chiziq oʻtkazamiz; 
b) bu toʻgʻri chiziqda berilgan differensial tenglama yechimining 
grafigiga shu nuqta orqali oʻtuvchi urinma kesmalarining har bir 
nuqtasidan yoʻnalishlar maydonini hosil qilamiz; 
c) (
x
i
-1
,
y
i
-1
) nuqta orqali 
l
toʻgʻri chiziqni shunday oʻtkazamizki, u 
l
(
i
)
toʻgʻri chiziqni kesib oʻtsin va bu kesishish nuqtasiga oʻtkazilgan 
urinma bilan ustma-ust tushsin. 
Bu kesishish nuqtasining ordinatasi 
y
i
toʻr yechimni beradi, (
x
i
-1
,
y
i
-1
) 
nuqta va kesishish nuqtasi orqali oʻtkazilgan 
l
toʻgʻri chiziq esa (1)-(2) 
Koshi masalasining izlanayotgan yechimi grafigiga [
x
i
-1
,
x
i
] kesmada ya-
qinlashuvchi siniq chiziqning boʻlagini beradi. 
6-izoh.
Yuqorida tavsiflangan Eyler 
usullari nafaqat bitta differensial tengla-
ma bilan yozilgan Koshi masalasi uchun, 
balki 
n
ta xuddi shunday tenglamalar 
sistemasi bilan yozilgan quyidagi Koshi 
masalasi uchun ham oʻrinli: 
8-rasm. 
(
y
k
)

(
x
) = 
f
k
(
x
, 
y
1
(
x
), 
y
2
(
x
), …,
 y
n
(
x
)) ,
x
0

x

x
0
+ 
L
,
k
= 1,2, …, 
n
, 
y
k
(
x
0
) = 

k
, 
k
= 1,2, …, 
n 
. 
Bu holda Eylerning oshkor usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi: 
y
1,0
, 
y
2,0
, …,
 y
n
,0
- berilganlar, 
y
k
,
i
+1
= 
y
k
,
i
+
hf
k
(
x
i
, 
y
1,
i
, 
y
2,
i
, …,
 y
n
,
i
),
k
= 1,2, …, 
n
,
i
= 0,1, …, 
N
–1, 
Eylerning oshkormas usuli esa quyidagi munosabatlar bilan beriladi: 
y
1,0
, 
y
2,0
, …,
 y
n
,0
- berilganlar, 
y
k
,
i
= 
y
k
,
i
-1
+
hf
k
(
x
i
, 
y
1,
i
, 
y
2,
i
, …,
 y
n
,
i
),
k
= 1,2, …, 
n
,
i
= 1,2, …, 
N
, 
bu yerda 
y
k
,
i
– nomaʼlum 
y
k
funksiyaning 
x
i
 
tugundagi toʻr boʻyicha yaqin-
lashuvchi miqdori. 
Bu formulalarni qaytadan yozib oʻtirmaslik ham mumkin edi. Buning 
uchun (12) va (21) formulalarda asosiy belgilashlarni vektor shaklida 
yozish yetarli boʻlardi. 
1-misol.
Quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan 
berilgan Koshi masalasi uchun Eylerning oshkor va oshkormas hisob for-
mulalarini yozing: 

---

14 
y
1

(
x
) = 
y
1
2
(
x
) + 
y
2
2
(
x
) , 
y
2

(
x
) = 
y
1
(
x
) 

y
2
(
x
) , 0 

x

1, 
y
1
(0) = 
y
2
(0) = 1. 
Yechish. 
Eyler oshkor usulining hisob formulalari quyidagicha: 
y
1,0
= 
y
2,0
= 1. 
y
1,
i
+1
= 
y
1,
i
+ 
h
((
y
1,
i
)
2
+ (
y
2,
i
)
2
) ,
i 
= 0, 1, …, 
N
–1, (22) 
y
2,
i
+1
= 
y
2,
i
+ 
h
(
y
1,
i

y
2,
i
) ,
i 
= 0, 1, …, 
N
–1 . (23) 
Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda 
i
boʻyicha sikl 
bajariladi: 
x
i
tugundagi 
y
1,
i
va 
y
2,
i
toʻr yechimlar topilgandan keyin 
i
ning 
qiymatida (22) va (23) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi 
x
i
+1
tugund-
agi 
y
1,
i
+1
va 
y
2,
i
+1
toʻr yechimlar topiladi. 
Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha: 
y
1,0
= 
y
2,0
= 1. 
y
1,
i
= 
y
1,
i
-1
+ 
h
((
y
1,
i
)
2
+ (
y
2,
i
)
2
) ,
i 
= 1, 2, …, 
N
, (24) 
y
2,
i
= 
y
2,
i
-1
+ 
h
(
y
1,
i

y
2,
i
) ,
i 
= 1, 2, …, 
N
. (25) 
Bu hisob formulalari boʻyicha ham bajarilgan hisoblashlarda 
i
boʻyicha sikl bajariladi: 
x
i
-1
tugundagi 
y
1,
i
-1
va 
y
2,
i
-1
toʻr yechimlar topil-
gandan keyin 
i
ning qiymatida (24) va (25) hisob formulalari boʻyicha 
navbatdagi 
x
i
tugundagi 
y
1,
i
va 
y
2,
i
toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar 
tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi. 
7-izoh.
Bu bajarilgan mashq asosida shu narsa ayonki, Eyler oshkor-
mas usulining har bir qadami Eyler oshkor usulining qadamiga nisbatan 
kattaroq hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi, shuning uchun oshkormas 
holda oshkor formulalarga nisbatan skalyar tenglamalar sistemasini 
yechishning murakkab prosedurasini qoʻllash talab qilinadi, bu esa oʻz 
navbatida maʼlum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Ammo bunday tezkor 
xulosaga kelish yaramaydi. Gap shundaki, Koshi masalasining talab qilin-
gan aniqlikdagi taqribiy yechimini topishning hisoblash ishlari umumiy 
hajmi nafaqat algoritm qadamlarining qiyinligi, bilan balki ulaning qadam-
lari soni bilan ham aniqlanadi. Shunday sistemlar (masalan, «qat’iy» dif-
ferensial tenglamalar sistemasi) mavjudki, uning toʻr yechimlarini yetarli 
aniqlikda topish uchun oshkor usul boʻyicha hisob toʻrining qadamini juda 
ham kichik qilib olish talab qilinadi, oshkormas usuldan foydalanilganda 
esa aniq yechimga yanada yaqinroq boʻlgan taqribiy natijani toʻrning kat-
taroq qadamlarida ham olish mumkin. Bu holda oshkormas usul hisob 
qadamlarining soni kamligi sababli umumiy arifmetik amallar soni kam 
boʻladi. 

---

15 
4. Eyler oshkor usulining yaqinlashishi 
Faraz qilaylik, 
y
(
x
i
) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining 
x
i
tugundagi yechimi, 
y
i
– Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugund-
agi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu

i
= 
y
(
x
i
) – 
y
i
,
i
= 0, 1, …, 
N 
(26) 
miqdor toʻr yechimning 
x
i
tugundagi 
xatoligi
, ushbu 


i

=

y
(
x
i
) – 
y
i

,
i
= 0, 1, …, 
N 
(27) 
miqdor toʻr yechimning 
x
i
tugundagi 
absolyut xatoligi
deb ataladi. 
Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar 
ham nolga intiladimi: 
h

0 da 
0
max
,...,
1
,
0


i
N
i

, (28) 
yani toʻr cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga 
intiladimi? 
Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafi-
dagi 
f
funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu 
tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [
x
0
, 
x
0
+
L
] kesmada mavjud, 
yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki,
f
funksiya 
x
, 
y
oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan 
x
0

x

x
0
+
L 
tengsizlik bilan olingan 
kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda 
chegaralangan boʻlishi ham lozim: 

f
(
x
,
y
)


M
1
, barcha
x

[
x
0
,
x
0
+
L
] va
y

R
lar uchun. (29) 
Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish 
bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi 
f 
funksiya hosilasining ham 
shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan 
boʻlamiz: 

f
x

(
x
,
y
)


M
2
, barcha
x

[
x
0
,
x
0
+
L
] va
y

R
lar uchun. (30) 

f
y

(
x
,
y
)


M
3
, barcha
x

[
x
0
,
x
0
+
L
] va
y

R
lar uchun. (31) 
(29)-(31) formulalardagi 
M
1
,
 M
2
,
 M
3
oʻzgarmaslar kenglikning barcha 
nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar. 
Faraz qilaylik,
y
i
,
y
i
+1
– Eylerning oshkor usuli bilan 
x
i
,
x
i
+1
tugun-
larda topilgan toʻr yechimlar, 
y
(
i
)
– (1) differensial tenglamaning grafigi (
x
i
,
 y
i
) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masa-
lasining yechimlari) boʻlsin. 
y
(
i
)
yordamchi yechimning 
x
i
+1
tugundagi 
y
(
i
)
(
x
i
+1
) qiymati uchun toʻr 
yechimning ushbu 

i
+1
= 
y
(
x
i
+1
) – 
y
i
+1
xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha: 

---

16 

i
+1
= (
y
(
x
i
+1
) –
 y
(
i
)
(
x
i
+1
))+ 
+(
 y
(
i
)
(
x
i
+1
) – 
y
i
+1
), 
yaʼni uni ikkita qoʻshi-
luvchilar yigʻindisi shaklida 
yoza olamiz: 
)
2
(
1
)
1
(
1
1





i
i
i



, (32) 
bunda 
)
(
)
(
1
)
(
1
)
1
(
1





i
i
i
i
x
y
x
y

, (33) 
1
1
)
(
)
2
(
1
)
(





i
i
i
i
y
x
y

. (34) 
9-rasm. 
(33) va (34) formulalardagi qoʻshiluvchilarning maʼnosini ochaylik. 
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qara-
layotgan qadami [
x
i
, 
x
i
+1
] kesmada izlanayotgan 
y
yechim grafigining 
boʻlagini 
y
(
i
)
yordamchi yechim grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagi bilan 
almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiri-
ladi: 
1) izlanayotgan 
y
yechim grafigi 
y
(
i
)
yordamchi yechim grafigi bilan 
almashtiriladi, natijada izlanayotgan 
y
(
x
i
+1
) yechim oʻzining 
)
(
1
)
(

i
i
x
y
yordamchi yaqinlashishiga (33) xatolik bilan almashtiriladi; 
2) 
y
(
i
)
yordamchi yechim grafigi unga oʻtkazilgan urinma – sodda 
toʻgʻri chiziq bilan almashtiriladi, natijada 
)
(
1
)
(

i
i
x
y
yaqinlashish 
qoʻshimcha (34) xatolik bilan 
y
i
+1
yaqinlashishga almashtiriladi. 
Yordamchi yechimni uning grafigiga oʻtkazilgan urinmasi orasidagi 
xatolikni ifodalovchi (34) qoʻshiluvchi algoritmning (
i
+1)-chi qadamidagi 
qoʻshimcha xatolikni ifodalaydi. Shuning uchun u (
i
+1)-
chi qadamidagi 
yoʻl qoʻyilgan lokal xatolik
, boshqacha aytganda, (
i
+1)-
chi qadamning lo-
kal xatoligi
deb ataladi. 
(33) qoʻshiluvchining kelib chiqish maʼnosi esa boshqacharoq, yaʼni u 
oldingi 
x
i
tugundagi 
y
i
- toʻr yechim 
y
(
x
i
) - aniq yechimdan farq qilishidan 
kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda 
y
(
i
)
– yordam-
chi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga koʻra izlanayotgan 
y
yechim bilan mos tushgan boʻlar edi va (33) qoʻshiluvchining qiymati 
nolga aylanardi). Shunga koʻra 
y
i
va 
y
(
x
i
) miqdorlar orasidagi farq algorit-
mning oldingi qadamida yoʻl qoʻyilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi, 
shuning uchun (33) xatolik (
i
+1)-
chi qadamning jamlangan xatoligi
deb 
ataladi. 
8-izoh.
Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni oldindan berilgan 
y
0
qiymat asosida 
y
1
toʻr yechimni topishda urinma aslida izlanayotgan 

---

17 
yechimga oʻtkazilgan boʻladi (6-rasm), chunki bu holda jamlangan xatolik 
yoʻq va 
x
1
tugundagi 

1
– toʻr yechimning toʻla xatoligi birinchi qadamn-
ing 
)
2
(
1

lokal xatoligi bilan mos tushadi. Keyingi qadamdan boshlab esa, 
umumiyroq qilib aytganda, uhar ikkala xatolik noldan farq qilib boshlaydi. 
Aynan ikkinchi qadamda ham 
)
2
(
2

- lokal xatolik va ham 
)
1
(
2

- jam-
langan xatolik birincha qadamda yoʻl qoʻyilgan 
y
1
toʻr yechimning 
y
(
x
1
) 
aniq yechimdan farqi boʻlgan lokal xatolik hisobiga paydo boʻladi, 
shuning uchun 
y
(1)
yordamchi yechim izlanayotgan 
y
yechimdan farq qilib 
boshlaydi. 
Xuddi shunday, uchinchi qadamda, umuman aytganda, nolinchidan 
boshqalarida, ham 
)
2
(
3

- lokal xatolik va ham 
)
1
(
3

- jamlangan xatolik 
x
2
tugundagi 
y
2
tor yechimning 
y
(
x
2
) aniq yechimdan farqi hisobiga paydo 
boʻladi, yaʼni 
y
2
tor yechimning xatoligi
)
2
(
2
)
1
(
2
2





. 
Bu yerdagi ikkinchi qoʻshiluvchi lokal xatolik boʻlib, ikkinchi qadamda 
yoʻl qoʻyilgan, birinchisi esa ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan jamlangan 
xatolik (bu xatolik birinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan 
)
2
(
1

- lokal xatolik 
hisobiga paydo boʻlgan). Shuning uchun uchinchi qadamdagi jamlangan 
xatolikni algoritmning oldingi birinchi va ikkinchi qadamlarida yoʻl 
qoʻyilgan lokal xatoliklarning natijasi deyish mumkin.