Bizga I (XI xm ) funksiya biror m

ANNOTATSIYA
Bizga i (XI X2 ,...xm ) funksiya biror M (M c R ^m ) to'lamda berilgan bo'lsin . Bu funksiyaning bitta k = (1,2,..., m) o'xgaruvchisidan boshqa barcha o'zgaruvchilarini o'zgarmas deb hisoblasak,u holda xm) funksiya bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'gan funksiyaga aylanadi. Uning shu o'zgaruvchi bo'yicha integrali , ravshanki x
larga bog'liq bo'ladi. Bunday integrallar parametrga bog'liq integrallar tushunchasiga olib keladi.
Soddalik uchun ikki o'zgaruvchili f (x,y) funksiyaning bitta o'zgaruvchi bo'yicha integralini o'rganamiz.
F (x, y) funksiya R ² fazodagi biror

to'plamda berilgan bo'lsin. Y o'zgaruvchining E (E c R) to'plamdan olingan har bir tayinlangan qiymatida F (x, y) funksiya x o'zgaruvchisi bo'yicha
[a,b] oraliqda integrallanuvchi, ya'ni
(x, y)dx
integral mavjud bo'lsin. Ravshanki, bu integral y o'zgaruvchining E to'plamdan olingan qiymatiga bog'liq bo'ladi:
(y) = I I (x, y)dx
Odatda (l) integral parametrga bog'liq integral deb ataladi, y 0' zgaruvchi esa parametr deyiladi.
Parametrga bog'liq integrallarda, i (x, y) funksiyaning funksional xossalariga (limiti, uzluksizligi, diferensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hakazo) ko'ra (D (y) funksiyaning tegishli funksional xossalari o'rganiladi
1. PARAMETRGA BOG'LIQ INTEGRALNING
BOSI%ANG '1CH
TUSHUNCHASI.
Bizga i (XI X2 ,...xm ) funksiya biror M (M c R ^m ) to'lamda berilgan bo'lsin . Bu funksiyaning bitta k = (1,2,..., m) o'xgaruvchisidan boshqa barcha o'zgaruvchilarini o'zgarmas deb hisoblasak,u holda x m) funksiya bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'gan funksiyaga aylanadi. Uning shu o'zgaruvchi bo'yicha integrali , ravshanki x
larga bog'liq bo'ladi. Bunday integrallar parametrga bog'liq integrallar tushunchasiga olib keladi.
Soddalik uchun ikki o'zgaruvchili f (x,y) funksiyaning bitta o'zgaruvchi bo'yicha integralini o'rganamiz.
F (x, y) funksiya R ² fazodagi biror
to'plamda berilgan bo'lsin. Y o'zgaruvchining E (E c R) to'plamdan olingan har bir tayinlangan qiymatida F (x, y) funksiya x o'zgaruvchisi bo'yicha
[a,b] oraliqda integrallanuvchi, ya'ni
integral mavjud bo'lsin. Ravshanki, bu integral y o'zgaruvchining E to'plamdan olingan qiymatiga bog'liq bo'ladi:
/ (x, y)dx
(1)
Odatda (1) integral parametrga bog'liq integral deb ataladi, y o'zgaruvchi esa parametr deyiladi.
Parametrga bog'liq integrallarda, / (x, y) funksiyaning funksional xossalariga (limiti, uzluksizligi, diferensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hakazo) ko'ra (y) funksiyaning tegishli funksional xossalari o'rganiladi. Bunday xossalarni o'rganishda / (x, y) funksiyaning y o'zgaruvchisi bo'yicha limiti va unga intilishi xarakteri muhim rol o'ynaydi. Limit funksiya. Tekis yaqinlashish. Limit funksiyaning uzluksizligi.
F (x, y) funksiya M c R}
to'plamda berilgan , Yo esa E(E c R) to'plamning limit nuqtasi bo'lsin.
X o'zgaruvchining [a,b] oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida / (x, y) faqat y ninggina funksiyasiga aylanadi. Agar Y da bu funksiyaning limiti mavjud bo'lsa, ravshanki, y limit x o'zgaruvchining [a,b] oraliqdan olingan qiymatiga bog'liq bo'ladi:
lim / (x, y) =
1-Ta'rif: Agar VE > 0 olinganda ham, Vx e [a,b] uchun shunday ò = ò (E, x) > 0 topilsaki I y yo l < ò tengsizlikni qanaotlantiruvchi Vy e E uchun I

bo'lsa, u holda (P(x) funksiya / (x, y) funksiyaning y yo dagi limit funksiyasi deyiladi.
F (x, y) funksiya M e [a, b], y e E} to'plamda berilgan bo'lib, 00 esa E to'plamning limit nuqtasi bo'lsin.
2-Ta'rif: Agar VE > 0 olinganda ham Vx e [a,b] uchun shunday A = > o
topilsaki, I y I >A tengsizlikni qanoatlantiruvchi
Vy e E uchun

bo'lsa, u holda (P(x) funksiya / (x, y) funksiyaning y —è 00 dagi limit funksiyasi deyiladi.
Misollar: l . Ushbu
= x sin y
funksiyani D = y) e R ² : o < x 1, y e R} to'plamda qaraylik. Y dagi limit funksiya x ekanligini
ko'rsatamiz.
Agar > 0 ga ko'ra, ¿ = b deb olinsa, unda
y yo —l y tengsizlikni qanoatlantiruvchi
2
Vy e R va vx e [0,1] uchun
= x sm y — x = X I sm y —l x
sin y — sin
2
n n
2 2
= x 12 sin cos
2 2 2
bo'ladi. Demak, y da Í (x, y) = x sin y funksiyaning limit funksiyasi
ç(x) = lim = lim x sin y = x
bo'ladi.
3-Ta'rif: M to'plamda berilgan Í (x, y) funksiyaning y yo dagi limit funksiyasi ç(x) bo'lsin.
> 0 olinganda ham shunday ¿ = > o
topilsaki, I Y - YO < ¿ tengsizlikni qanoatlantiruvchi
Vy e E va vx uchun

bo'lsa, Í (x, y) funksiya o'z limit funksiyasi ç(x) ga [a,b] da tekis yaqinlashadi deyiladi.
Aks holda yaqinlashish notekis deyiladi.
4-Ta'rif: M to'plamda berilgan i (x, y) funksiyaning Y —Y YO dagi limit funksiyasi (P(x) bo'lsin. Vó > 0 olinganda ham shunday > o ,
- < č tengsizlikni
qanoatlantiruvchi Yl e E topilsaki, ushbu

tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda j (x, y) funksiya
A x) ga notekis yaqinlashadi deyiladi.

2.