Bizga I (XI xm ) funksiya biror m

Parametrga bog'liq integrallar

j (x, y) funksiya

to'plamda berilgan bo'lib, o'zgaruvchining E to'plamdan olingan har bir tayin qiymatida i (x, y) -x o'zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo'lsin. Ya'ni y ni
0'zgarmas deb hisoblanganda
j (x, y)dx
integral mavjud bo'lsin. Ravshanki bu integralning qiymati olingan y ga (parametrga) bog'liq bo'ladi:
(j (y) = I i (x, y)dx

(1)

Misol: Ushbu Y funksiyaning x o'zgaruvchisi bo'yicha [a,b] dagi integrali (bu yerda
/ (x, y)dx = J sin xydx = 1 sin ryd (xy) — cos ay — cos by
bo'lib, E = R /{0} to'plamda berilgan
Ô (y) = —(cos ay — cos by)
funksiyadan iboratdir.
Ushbu paragrafda parametrga bog'liq (1) integralning (o (y) — funksiyaning ) funksional xossalarini o'rganamiz.
l . Integral belgisi ostida limitga o 'tish.
F (x, y) funksiya
M = y) e R ² : x e [a,b], y e E c R} to'plamda berilgan bo'lib, nuqta E to'plamning limit nuqtasi
bo'lsin.
1 -Teorema: f(x,y) funksiya y ning E to'plamdan olingan har bir tayin qiymatida x ning funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda uzluksiz bo 'lsin. Agar f(x,y) funksiya Y —Y da limit funksiyaga ega bo '1sa va unga tekis yaqinlashsa, u holda lim J 1 (x, y)dx =
(2) bo 'ladi.
Isbot: Shartga ko'ra / (x, y) funksiya Y da Ç(x) limit funksiyaga ega va unga tekis yaqinlashadi. Demak > 0 olinganda ham, shunday = > o topiladiki, I y ni qanoatlantiruvchi e E va
Mx e [a,b] uchun

bo'ladi.
Ikkinchi tomondan Í (x, y) funksiyaning uzluksizligi to'g'risidagi teoremaga asosan ç(x) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo'ladi. Demak bu funksiyaning
integrali mavjud.
Natijada
I J Í (x, y)dx < 6 dx = 6
bo'lib, undan
lim J Í (x, y)dx =
ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo'ldi.
(4) munosabatni quyidagicha lim J Í y)^dx = J[lim Í ( ^X ,
ham yozish mumkin. Bu esa integral belgisi ostida limitga o'tish mumkinligini ko'rsatadi.
Misol: Biz M = y) e R ² : x e [0,1], y e [0,1]} to'plamda berilgan
Í (x, y)x sin y
funksiyaning y —+ 0 da limit funksiyaga
tekis yaqinlashishini ko'rgan edik: lim x sin y = 0
Berilgan funksiya y o'zgaruvchining har bir tayin qiymatida x o'zgaruvchining [0,1] oraliqdagi uzluksiz funksiyasi ekanligi ravshan. Demak (l) teoremaga ko 'ra
lim J / (x, y)dx = lim x sin ydx = J [lim x sin y]dx = 0
bo'ladi.
2. Integralning parametr bo 'Yicha uzluksizligi.
2-Teorema: Agar f(x,y) funksiya

to 'plamda uzluksiz bo 'Isa, u holda
Ô / (x, y)dx
funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo 'ladi. Isbot: Ihtiyoriy e [c,d] nuqtani olaylik. Shartga ko'ra / (x, y) funksiya M to'plamda (to'g'ri to'rtburchakda) uzluksiz. Kantor teoremasiga ko'ra bu funksiya M to'plamda tekis uzluksiz bo'ladi. Unda Vb > 0 olinganda ham, shunday = ò (b) > o topiladiki,
p((x, y), (x, yo ))
tengsizlikni qanoatlantiruvchi V(x, y) e M , V(x, yo) e M uchun
bo'ladi. Bu esa / (x, y) funksiyaning Y da / (x, yo) limit funksiyag tekis yaqinlashishini bildiradi. U holda (l) teoremaga asosan lim ^Ô (y) = lim J = J[lim / (x, = J /
(Vyo e [c, d ]) bo'ladi. Demak, ô (Y) funksiya nuqtada uzluksiz.
Teorema isbot bo'ldi.
3.1ntefralni parametr bo 'Yicha differensiallash. 3-Teorema: / (x, y) funksiya

to'plamda berilgan va y o'zgaruvchining [c,d] oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida x o'zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda uzluksiz bo'lsin. Agar f (x, y) funksiya M to'plamda f y (x, y) hususiy hosilaga ega bo'lib, y uzluksiz bo'lsa, u holda ô (Y) funksiya ham [c,d] oraliqda ô hosilaga ega va ushbu
(3)
munosabat o'rinlidir.
Isbot: Shartga ko'ra f (x, y) funksiya x o'zgaruvchisi bo'yicha [a,b] oraliqda uzluksiz. Binobarin Ô (y) = J / (x, y)dx
integral mavjud.
Endi Vyo G [c,d] nuqtani olib, unga shunday Ay
orttirma beraylikki, YO + Ay e [c,d] bo'lsin.ô(Y) funksiyani YO nuqtadagi orttirmasini topib, ushbu
dx
tenglikni hosil qilamiz. Lagranj teoremasi ga ko'ra
(uni qo'llay olishimiz teorema shartlari bilan ta 'minlangan)
Í (x, yo + Ay) — Í (x, yo)
= Í y (x, yo + OAy)
Ay bo'ladi, bunda 0 < o < 1
Natij ada

Ô (vo + — J Í ', (x, yo -FOAy)dx = J Ay bo'lib, undan esa	+ J [Í ( (x, yo +0Ay)— (x, yo )]dx
b	b

Í y' (x, yo)dx 1
Ay
b
(X, yo + OAy) — Í ) (x, yo) Ay)dx =
= Ay)(b —a) (4) bo'lishini topamiz, bunda co( Í Ay) - (x, y) funksiyaning uzluksizlik moduli.
Modomiki Í y (x, y) funksiya M to'plamda uzluksiz ekan, unda Kantor teoremasiga ko'ra bu funksiya shu to'plamda tekis uzluksiz bo'ladi. U holda yuqorida keltirilgan teoremaga asosan
lim = o
bo'ladi.
(4) munosabotdan
iv (x, yo)dx
bo'lishi kelib chiqadi.Demak,
Ô / v (x, yo)dx
YO nuqta [c,d] oraliqda ixtiyoriy. Teorema isbot bo'ldi.
(3) munosabatni quyidagicha ham yozish mumkin:
(x, y)dx = j (x, y)dx dy a
Bu esa differensiallash amalini integral belgisi ostiga o'tkazish mumkinligini ko'rsatadi.
4.1ntegralni parametr bo 'yicha integrallash.
i (x, y) funksiya M = y) E R ² : x to'plamda berilgan va shu to'plamda uzluksiz bo'lsin.U holda 2-teoremaga ko'ra
j (x, y)dx
funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo'ladi.Bu funksiya
[c,d] oraliq bo'yicha integrali mavjud.
Demak, j (x, y) funksiya M to'plamda uzluksiz bo'lsa, uholda parametrga bog'liq integralni parametr bo'yicha [c,d] oraliqda integrallash mumkin:
Bu tenglikning o'ng tomoni / (x, y) funksiyani avval x o'zgaruvchi bo'yicha [a,b] oraliqda integrallab ,so'ng natijani [c,d] oraliqda integrallanadi
Ba'zan / (x, y) funksiya M to'plamda uzluksiz bo'lgan halda bu fuksiyiyani avval y o'zgaruvchi bo'yicha [c,d] oraliqda integrallab,so'ng hosil x o'zgaruvchining funksiyasini [a,b] oraliqda integrallash qulay bo'ladi natijada ushbu
f [f / (x, / (x, y])dx
integrallar hosil bo'ladi.
4-Teorema: Agar f(x,y) funksiya
M = y) e R ² : x e [a,b], y e [c,d ]} to 'plamda uzluksiz bo 'Isa, uholda f [f / (x, y)dx]dy = f [f / (x, y)dy]dx
bo'ladi.
Isbot:Yt e [c,d] nuqtani olib, quyidagi q(t) = f [f / (x, (t) = f [f / (x, y)dy]dx integralni qaraylik. q(t), p (t) hosilalarini hisoblaymiz.
(y) = f / (x, y)dx
funksiyani [c,d] oraliqda uzluksiz bo'lganligi
funksiyani [c,d] oraliqda uzluksiz bo'lganligi sababli quyidagicha bo'ladi:
(5)
bo'ladi.
i (x, y) funksiya M to'plamda uzluksizligidan

bo'ladi.Demak, f / (x, y)dy funksiyaning
M e R ² to'plamdagi t bo'yicha xususiy hosilasi / (x,t) ga teng va demak ,uzluksiz.U holda 5-teoremaga muofiq

(6)
bo'ladi.
(5) va (6) munosabatdan

bo'lishi kelib chiqadi.Demak,