Bitiruv malakaviy ishi

5⁰. Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivligi.

3 ta ko‘phad berilgan bo‘lsin.

f₁ (x)  a₀

 a₁ x  a₂

x ²  ...  a x ⁿ

f (x)  b  b x  b x ²  ...  b x ⁿ
2 0 1 2 n

n

n

f₃ (x)  с₀

 с₁ x  с₂

x ²  ...  с x ⁿ

( f₁ (x)  f₂ ( x)) f₃ (x) 

ekanini isbotlaymiz.

f₁( x) f₃ ( x)  g₂ (x)g₃ (x)

(8)

f₁ (x)  f₂ (x)

ko‘phad (4) formula orqali berilgan ko‘phadlarni ko‘paytirish

amalining ta'rifiga ko‘ra

( f (x)  f (x)) f

(x)  d d x  d

x²  ...  d

_x p  e

bu yerda

1 2 3

0 1 2

p e

d _k  (a₀  b ₀ )c_k  (a₁  b₁ )c_{k 1}  ...  (a_k  b _k )c₀

^K halqada distributivlikning o‘rinliligidan foydalanib ^dk ni ko‘rinishida ifodalashimiz mumkin bunda
k k


_d I _{ d} II

yig‘indi

d ^I  a c

 a c

 a c  ...  a c

k 0 k

1 k 1

2 k 2 k 0

_k  b ₀ c_k  b₁ c_{k 1}  b ₂ c_{k 2}  ...  b _k c₀
II

d

d ^I  f 1( x) f 1(x)
k

ko‘phaddagi

^xk oldidagi koeffitsiyent ekanligi kelib chiqadi.

Bundan (8) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi xuddi shu mulohazalardan foydalanib 2- distributivlik

f₃ (x)( f₁(x)  f₂ (x)) 

ham isbotlandi.

f₃ ( x)  f₁(x)  f₃ (x)  f₂ ( x)

1⁰-5⁰ xossalardan ko‘ramizki, koeffitsiyentlari ^K halqadan olingan ko‘phadlar to‘plamining o‘zi ham ko‘phadlar ustida aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.

Bu halqa ^K halqa ustidagi ( ^x o‘zgaruvchili) ko‘phadlar halqasi deyilib,

K[x]

kabi belgilanadi. Barcha halqalardagi kabi ko‘phadlar halqasida ham

qo‘shish amaliga teskari amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) va (3) ko‘rinishda berilgan ko‘phadlarning ayirmasi (5) formula yordamida topiladi. Bu tenglikning o‘rinli ekanligini ayrimani

f₁ (x)  f₁ (x)  f₂ ( x)  f₁ (x)  ( f₂ (x))

ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi.

^x ni o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada

n  0

bo‘lgan holda

^K halqaning elementlari bo‘ladi. Ulardagi qo‘shish va ko‘paytirish amali,

ta'rifdan ko‘rinadiki ^K halqada bajariladi. Boshqacha aytganda, ^K halqa halqaning qism halqasi bo‘ladi.
2

n


K[x]

1. 
   Ifodadagi
   

a₀ ,

a₁ x,

a₂ x ,

. . . ,

a x ⁿ

qo‘shiluvchilar ko‘phadning

hadlari deyiladi. Xususan,

a₀ 

ozod had deyiladi. Odatda (yozuvni soda bo‘lishi

uchun)ko‘phadning yozuvida koeffitsiyenti nolga teng bo‘lgan hadlar tashlab yuboriladi.

Masalan:

6  0  x  3x²  4x³  0  x⁴

ko‘phad

6  3x²  4x³

kabi yoziladi.

ax^k

ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni

a₀ ,

a₁ x,

a x ² ,

..., a x ^m

birhadlarning yig‘indisi deb qarasak, ko‘phadning yozuvidagi «+» belgini qo‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi.

2

n

(a)x^k

ax^k

birhadga qarama-qarshi birhad deyiladi. Shuning uchun

qandaydir ko‘phadga

(a)x^k

birhadni qo‘shish deganda ko‘phaddan

ax^k

birhadni

ayirish tushuniladi. Bu «-» ni ko‘phadlarni ayirish sifatida qarab ^{ (a)x}k

o‘rniga - ^axk

Masalan:

ni yozish imkonini beradi.

1  (3)x  2x²

ko‘phad o‘rniga

1  3x  2x²

ko‘phadni yozish mumkin.

Endi ^K halqa birlik elementga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra,

( p( x))²  p(x) p( x)  1x ²

( p( x))³  ( p(x))² p(x)  1x³

p(x)  1x

va xokozolarga ega bo‘lamiz. Umuman,

( p( x))^k

 ( p(x)) ^k1 p(x)  1x ^k

bo‘ladi .

^{K x} halqada ^1xk

ko‘phadni ^a elementga ko‘paytirsak,

a  ( p(x))^k

 ax ^k

hosil bo‘ladi. Odatda

( p(x))^k

ifodani

p ^k (x)

kabi belgilash

ishlatiladi.

Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida

a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n  K x

a  a p(x)  a ( p(x))²  ...  a ( p(x))ⁿ  a  a x  a x ²  ...  a x ⁿ
0 1 2 n 0 1 2 n

ga ega bo‘lamiz.

Bu tenglik qanday ma'noni anglatadi?

Uning chap tomoni ko‘phadning ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi,

o‘ng tomonida esa

a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n

elementlar va

K x

halqaning

p(x)

elementlari o‘rtasida bu halqadagi qo‘shish va ko‘paytirish amali bajarildi.

Shuning uchun ^K halqada birlik element mavjud bo‘lsa biz

p(x)

deb

belgilagan ko‘phadni ^x harfi orqali ifodalab ko‘phadning formal ifodasiga mazmun berdik.

Ko‘phad haqidagi dastlabki ma'lumotlarning yakunida ko‘phadning darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni kiritamiz.