Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyalarning ekstremumlarini tekshirish. Asimptotalar

6- amaliy mashg`ulot. Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyalarning ekstremumlarini tekshirish. Asimptotalar. Funksiyani hosila yordamida to’la tekshirish.


Misollar.
Funksiyaning monotonlik oraliqlarini toping.

1. 
   2. 3.
   

4. 5.
Funksiyaning ekstremumlarini toping.

1. 
   2. 3. 4.
   

Funksiyani berilgan kesmadagi eng kichik va eng kata
qiymatlarini toping.

1. ning [0;4] kesmadagi. 2. ning [0;1] kesmadagi.
3. ning [2;4] kesmadagi. 4. ning [4;5] kesmadagi.

Funksiyaning qavariqligi va botiqligi. Burilish nuqtalari.

1-misol. Quyidagi funksiyalarning ekstremum nuqtalari topilsin:

1. . 2. .
3. . 4. 5. .
Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyalarning ekstremumlarini tekshirishga doir misollar yechish.


Funksiyaning vertikal, og’ma va gorizontal asimptotalari.
Misollar.
Mmisol. Quyidagi egri chiziqlarning asimptotalari topilsin:
1. . 2. . 3. .
4. . 5. .
Misol. Quyidagi egri chiziqlarning egilish nuqtalari hamda botiqlik va qavariqlik intervallari aniqlansin:
1. . 2. .
3. . 4. 5. .


Funksiyani hosila yordamida to’la tekshirish va uning grafigini chizish.
Misol. funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik intervallarini hamda egilish nuqtalarini toping.
Yechish. Ikkinchi hosilani topamiz:
, . Ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirib hosil boʻlgan tenglamani yechamiz: , , .
da boʻlganligi sababli intervalda funksiyaning grafigi qavariq boʻladi.
da boʻlganligi sababli intervalda grafik botiq boʻladi.
ekanligini hisobga olsak nuqta grafikning egilish nuqtasi ekanligi kelib chiqadi.
Misol. funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik intervallarini hamda egilish nuqtalarini toping.
Yechish. funksiya intervalda aniqlangan. Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: , .
Ikkinchi tartibli hosila intervalda manfiy boʻlganligi sababli funksiyaning grafigi bu intervalda qavariq boʻladi. Grafik egilish nuqtaga ega emas.
Funksiyani tekshirishning umumiy sxemasiga misollar yechish.
Misol. funksiyaning grafigi chizilsin.
Yechish. 1. Funksiya intervalda aniqlangan.
2. Funksiya butun son oʻqida uzluksiz.
3. .
boʻlganligi sababli da va da boʻladi. Demak funksiya intervalda oʻsadi, intervalda esa kamayadi.
4. Funksiyaning hosilasini nolga tenglashtirib, hosil boʻlgan tenglamani yechib funksiyaning kritik nuqtalarini aniqlaymiz:
. Demak, kritik nuqta.
Bu kritik nuqtaning chapidan o‘ngiga oʻtganda hosila ishorasini plyusdan minusga oʻzgartirganligi uchun nuqtada funksiya maksimumga ega. .

5. 
   Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
   

.
Buni nolga tenglashtirib yechsak grafikning egilish nuqtalarining abssissalari hosil boʻladi.
boʻlganligi uchun tenglamadan , ga ega boʻlamiz. Demak grafikning va abssissali va nuqtalari uning egilish nuqtalaridir. va oraliqlarda boʻlgani uchun grafik bu oraliqlarda botiq, oraliqda boʻlgani uchun bu oraliqda grafik qavariq.
6. Funksiya х ning barcha qiymatlarida aniqlanganligi uchun uning grafigi vertikal asimptotalarga ega emas. Grafikning ogʻma asimptotalarini aniqlaymiz.
, .
Demak, , ya’ni 0х oʻq grafikning asimptotasidir.
funksiyaning grafigi Gauss egri chizigʻi deb ataladi. U chizmada tasvirlangan.