Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

O’zgaruvchilarni yo’qotish usuli.
Bu usulning mohiyati quydanicha. Faraz qilaylik,
g₁(x₁,x₂,…,x_n)=0, g₂(x₁,x₂,…,x_n)=0,… g_m(x₁,x₂,…,x_n )=0 (2)
tenglamalardan m-ta o’zgaruvchilarni masalan, x₁,x₂,…,x_m larni qolganlari orqali bir qiymatli ifodalash mumkin bo’lsin:
x₁=h₁(x_m+1,…,x_n), … x_m=h_m(x_m+1,…,x_n ). (3)
(3) dan foydalanib, n-m o’zgaruvchili  (x_m+1 ,…,x_n )=f(h₁(x_m+1,…,x_n), … , h_m(x_m+1,…,x_n ), x_m+1 ,…,x_n )
funksiyaga eag bo’lamiz. Endi
 (x_m+1 ,…,x_n)min(max), (x_m+1 ,…,x_n)R^n+m (4)
shartsiz ekstremum masalasini qaraymiz.(I),(4) masalalar uchun quyidagi sodda tasdiqlarga ega bo’lamiz.
A) agar (x^*₁,x^*₂,…,x^*_n)-masalaning yechimi bo’lsa,
(x^*_m+1,x^*_m+2,…,x^*_n)-(4) masalaning yechimi bo’ladi.
B) agar (x^*_m+1,x^*_m+2,…,x^*_n)-(4) masalaning yechimi bo’lsa,
{(h₁(x_m+1 ,…,x_n), h₂(x_m+1 ,…,x_n), …,h_m(x_m+1 ,…,x_n), x_m+1 ,…,x_n)} – (1) masalaning yechimi bo’ladi.
1-misol. f(x)= x₁²+x₂²+x₃²min(max), x₁+x₂+x₃=1.
g(x)= x₁+x₂+x₃-1=0 cheklashdan x₃=1- x₁-x₂ , bir qiymatli aniqlangani uchun
(x₁,x₂)= 2x₁²+2x₂²+2x₁ x₂-2 x₁-2 x₂+1 min(max), (x₁,x₂)R²
shartsiz ekstremum masalasiga kelamiz.
(x₁,x₂)= (x₁-x₂)²+(x₁-1)²+ (x₂-1)² -1 (x₁-1)²+ (x₂-1)² -1 munosabatdan da ekanligi kelib chiqadi ( =(x₁,x₂)).
U vaqtda Veyrshtrass teoremasiga ko’ra ( ) funksiyaning R²da global minimum mavjud. Ammo global maksimum mavjud emas:

( ) funksiyaning stasionar nuqtalarini aniqlaymiz:

Topilgan = ( , ) stasionar nuqta ( ) funksiyaning global minimum nuqtasi bo’ladi (chunki global minimum nuqtasi mavjud, stasionar nuqta esa yagona). Shunday qilib,
x^*={ x^*₁= , x^*₂= , x^*₃=1- x^*₁- x^*₂= }
(5) maaslada global minimum nuqta bo’ladi. Global maksimum esa mavjud emas: .