Bir XIL argumentli trigonometrik funksiyalar orasidagi munosabatlar. Trigonometrik ayniyatlar. Qo`shish teoremalari va ularning natijalari. Trigonometrik funksiyaning ko`paytmasini yig’indiga va aksincha, almashtirish formulalari

Trigonometrik ayniyatlar
Trigonometrik funksiyalar qatgashgan ifodalar xossalari va ularning o‘zaro bog‘liqligini yana o‘rganishning muhim bosqichidir. Trigonometrik ifodalarni ayniy shakl almashtirishga doir misollarda argumentning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari to‘plamida berilgan deb qaraladi. Zarur bo‘lgan holda alohida aniqlanish sohasiga murojaat qilamiz.
Ta’rif. Tenglikning tarkibiga kiruvchi o‘zgaruvchilarning istalgan qiymatlarida to‘g‘ri bo‘ladigan tenglikka ayniyat deyiladi.
Albatta, trigonometrik ayniyatlarni isbotlashda tenglikda qatnashayotgan argument qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami hisobga olinib, shu to‘plamda qaralayotgan ayniyat hisoblanadi. Ayrim trigonometrik ayniyatlarni isbotlashni ko‘rib o‘tamiz.
1-misol. Ayniyatni isbotlang.

Isboti. Ayniyatni isbotlash uchun chap tomonidan o‘ng tomonini keltirib chiqaramiz, ya’ni

2-misol. Agar bo‘lsa, ni isbotlang.
Isboti. bundan



Qo‘shish teoremalari va ularning natijalari
Teorema. va argumentlarning ixtiyoriy qiymatlarida:

Munosabatlar o‘rinli.
Isboti. M va N va burchaklarning qiymatlarini birlik aylanada ifodalovchi nuqtalar bo‘lsin (1-chizma). U holda M va N nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi:

M va N nuqtalar orasidagi masofani hisoblaylik:
(*)
Endi boshlang‘ich huqtasi N va oxirgi nuqtasi M bo‘lgan yoyni qaraylik. Bu yoy son bilan o‘lchanadi. Shu yoyni nuqtadan boshlab qo‘yaylik. Bunda B uning oxirgi uchi bo‘lsin. U holda yasashga ko‘ra bo‘lib, bularni tortib turuvchi vatarlar ham teng bo‘ladi, ya’ni AB=MN.
AB masofani hisoblash uchun A va B nuqtalarning koordinatalarini aniqlaylik:
D emak,
(**)
(*) va (**) larni o ‘zaro tenglashtirib,
(2) formulaga ega bo‘lamiz.
(
1-chizma.
2) formulada ni ga almashtirib,
ga ega bo‘lamiz. Bu yerda sinus va kosinuslarning juft va toqligidan foydalandik.
Natija. Agar va argumenlarning yig‘indisi ga teng bo‘lsa, u holda birining kocinusi ikkinchisining sinusiga va aksincha, teng bo‘ladi, ya’ni bo‘lsa, u holda yoki . Haqiqatan, (2) formulaga binoan:
Ikkinchisi ham shunday isbotlanadi.