Bir o’zgaruvchili tenglamalar. Teng kuchli tenglamalar

Bir o’zgaruvchili tengsizliklar.Tengsizliklarning teng kuchliligi
2x+7>10-x, x²+7x<2,(x+2)(2x-3)>0 ko’rinishdagi jumlalar bir o’zgaruvchili tengsizlik deyiladi.
Ta’rif. f(x) va g(x) o’zgaruvchli va aniqlanish sohasi X bo’lgan ikkita ifoda bo’lsin. U holda f(x)>g(x) yoki f(x)X to’plamdan olingan x o’zgaruvchining tengsizlikni to’g’ri sonli tengsizlikka aylantiradigan qiymati tengsizlikning yechimi deyiladi Berilgan tengsizlikning yechimlari to’plamini topish bu tengsizlikni yechish demakdir.
Ta’rif. Agar ikki tengsizlikning yechimlari to’plami teng bo’lsa,ular teng kuchli tengsizliklar deyiladi.
Masalan. 2x-3>0 va 2x>3 tengsizliklar teng kuchli,chunki ularning yechimlari to’plami teng va ) oraliqdan iborat.
1-teorema. f(x)>g(x)tengsizlik X to’plamda berilgan va h(x) o’sha to’plamda aqniqlangan ifoda bo’lsin.U holda f(x)>g(x) va f(x)+h(x)>g(x)+h(x) tengsizliklar X to’plamda teng kuchli bo’ladi.
Bu teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1) Agar f (x)>g(x) tengsizlikning ikkala qismiga ayni bir haqiqiy son d qo’shilsa,berilgan tengsizlikka teng kuchli f(x)+d>g(x)+d tengsizlik hosil bo’ladi.
2) Agar biror qo’shiluvchi (sonli ifoda yoki o’zgaruvchili ifoda) tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga ishorasini qarama-qarshisiga o’zgartirib o’tkazilsa,berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
2-teorema. f(x)>g(x) tengsizlik X to’plamda berilgan, h(x) o’sha to’plamda aniqlangan ifoda va X to’plamdan olingan barcha x uchun h(x)>0 bo’lsin. U holda f(x)>g(x) va f(x)·h(x)>g(x)·h(x) tengsizliklar X to’plamda teng kuchli bo’ladi.
Bu xossadan quyidagi natija kesib chiqadi: agar f(x)>g(x) tengsizlikning ikkala qismi ayni bir musbat haqiqiy son d ga ko’paytirilsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli f(x)·d>g(x)·d tengsizlik hosil bo’ladi.
3-teorema.f(x)>g(x)tengsizlik X to’plamda berilgan,h(x) o’sha to’plamdan olingan barcha x uchun h(x)<0 bo’lsin.U holda f(x)>g(x) va f(x)·h(x)Bu xossadan quyidagi natija kelib chiqadi:
Agar f(x)>g(x) tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy haqiqiy son d ga ko’paytirilsa va tengsizlik belgisi qarama- qarshisiga almashtirilsa,berilgan tengsizlikka teng kuchli f(x)·d5x-5<2 –16,x R tengsizlikni yechamiz va uni yechishda qanday nazariy qoidalar qo’llanilganini aniqlaymiz.
Yechish yo’li.
1. 2x ifoda chap qismga ,-5ni o’ng qismga o’tkazamiz:5x-2x<16+5.
2. Tengsizlikning chap va o’ng qismlaridagi o’xshash hadlarni ixchamlaymiz:3x<21
3. Tengsizlikning ikkala qismini 3 ga bo’lamiz: x<7
Qo’llanilgan nazariy qoidalar:
1-teoremaning 2-natijasidan foydalandik,berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ldi.
Tengsizlikning o’ng va chap qismilarida aynan shakl almashtirishlar bajardik, ular tengsizlikning teng kuchliligini buzmadi.
2-teoremaning natijasidan foydalandik,berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi. x<7 tengsixlikning yechimi (–,7) oraliq bo’ladi. Shunday qilib, 5x-5<2x+16 tengsizlikning yechimlari to’plami (-,7) sonlar to’plami bo’ladi.