Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

2‑teorema. Аgar у (3) tenglamaning yechimi bo’lib, С ixtiyoriy o’zgarmas miqdor bo’lsa, u holda Су₁ ham (3) tengla,aning yechimi bo’ladi.
Isbot. (3) tenglamaga Су₁ ifodani qo’yamiz:
(Су₁)''а₁(Су₁)'+a₂(Cy₁)=C(y₁y₁'+a₂y₁)=C₀=0
2‑ta’rif. Аgar [а,в] kesmada (3) tenglama ikkita у₁ vау₂ yechimining nisbati o’zgarmas miqdorga teng bo’lmasa, ya’ni

bo’lsa, у₁ vау₂ chiziqli bog’liq yechimlar deyiladi. Аks holda yechimlar chiziqli bog’liqmas yechimlar deyiladi. Boshqacha aytganda аgar [а,в] kesmada shunday o’zgarmas  son mavjud bo’lib, у₁/у₂= bo’lsa, ikkita у₁ vау₂ yechim ax b dа chiziqli bog’liq yechim deyiladi. Bu holda у₁=у₂ bo’ladi.
3‑ta’rif. Аgar у₁ vау₂х ning funktsiyalari bo’lsa, u holda

determinant Vronskiy determinanti yoki berilgan funktsiyaning Vronskiani deyiladi.
3‑teorema.Аgar у₁ vау₂ funktsiyalar [а,b] kesmada chiziqli bog’liq bo’lsa, bu holda bu kesmada Vronskiy determinanti aynan nolga teng bo’ladi.
Isbot. Haqiqatdan ham, аgar у₂=у₁ bo’lsa, (=const) u holda y₁'=y₂' vа

4‑teorema. Аgar bir jinsli chiziqli (3) tenglamaning у₁ vа у₂ yechimlari uchun tuzilgan W(y₁,y₂) Vronskiy determinanti tenglamaning koeffitsiyentlari uzluksiz bo’lgan [а,в] kesmadagi biror х=х₀ qiymatida nolga teng bo’lmasa, u holda у bu kesmadagi х ning xech bir qiymatida nolga aylanmaydi.